Monotony by means of A-G inequality ?

[sasa]

Consider the sequences $ (a_n)_{n=1}^{\infty}\; \; \; ,\; \; \; (b_n)_{n=1}^{\infty}$ where

$ a_{n}:=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{3}} \; \; \; ,\; \; \; \; b_{n}:=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}} \; .$

Using only inequalities between means, it's possible to prove that $ (a_n)_{n=1}^{\infty} $ and $ (b_n)_{n=1}^{\infty} $ are monotonic (sequences) ?

[Руст]

Достаточно логарифмировать и смотреть разницу:
$c_n=(1+\frac 1n)^{n+s}, \ln{c_n}-\ln{c_{n-1}}=(n+s)\ln{(1+1/n)}+(n+s-1)\ln{(1-1/n)}=\sum_k (\frac{(1-2s)(2k-1)-2n(1-k)}{n^{2k}})$.
Отсюда сразу следует, что последовательность монотонно убывает при s>=1/2. Если s<1/2 то последовательность начинает расти начиная с некоторого номера. Если s<=s0, где s0 определяется из условия:
$s_0=\frac{\ln{(9/8)}}{\ln{(4/3)}}.$, последовательность растёт с самого начала.

[Co_Gito]

For what k, if any, does the equality
(n+s)\ln(1+1/n)+(n+s-1)\ln(1-1/n)=\sum_k\left(\frac{(1-2s)(2k-1)-2n(1-k)}{n^{2k}}\right) hold? The natural choice for the limits, k=1,...,\infty does not give the equality