Доказательство по принципу математической индукции

[Aslan050592]

Добрый вечер уважаемые форумчане. Вот изучаю основы дискретной математики и натолкнулся на небольшие трудности в доказательстве математической индукцией.
Вообщем дело вот в чем. Хочу разобраться с примером по доказательству, но не могу понять суть принципа мат.индукции.

Принцип мат. индукции в книге:
https://ibb.co/d6XQzm
Пример 2.14:
https://ibb.co/gLkTKm
https://ibb.co/dfweQR

Здесь в примере "нужно доказать, что $7^n - 1$ делится на 6 при любом n."
Затем в решении на одной из строк они пишут "Предположим, что $7^k - 1$ делится на 6 при каком-то натуральном k."
Мой вопрос:
1. С чего это они предполагают это (то что необходимо доказать) во время доказательства?
То есть как так получается что им нужно доказать вот это: $7^n - 1$ делится на 6 при любом n
И вдруг они в процессе решения пишут: Предположим, что $7^k - 1$ делится на 6 при каком-то натуральном k.
2. В чем тогда смысл доказательства, если с легкостью можно"предположить", а дальше рассуждать отталкиваясь от предположения ?

[Ms-dos4]

Aslan050592
Говоря нематематически, вы доказываете, что утверждение верно для какого-то начального значения, например $\[P(1)\]$ (база индукции). Далее вы доказываете, что если справедливо $\[P(k)\]$ то справедливо и $\[P(k + 1)\]$ (индукционный переход). Т.е. теперь из истинности $\[P(1)\]$ (а это мы доказали) следует истинность $\[P(2)\]$, из $\[P(2)\]$ следует истинность $\[P(3)\]$ ну и так далее по цепочке.

[Someone]

Aslan050592 в сообщении #1276075 писал(а):

1. С чего это они предполагают это (то что необходимо доказать) во время доказательства?

Они же доказали, что при $n=1$ утверждение верно. Поэтому они имеют полное право сказать "предположим, что при каком-нибудь $n=k$ утверждение верно". Ведь при $n=1$ утверждение проверено, так что при $k=1$ всё в порядке. А дальше всё идёт так, как написал Ms-dos4.

Aslan050592 в сообщении #1276075 писал(а):

2. В чем тогда смысл доказательства, если с легкостью можно"предположить", а дальше рассуждать отталкиваясь от предположения ?

Вы так думаете? Вы заблуждаетесь. Метод математической индукции требует, чтобы утверждение сначала было проверено для некоторого начального значения $n$, и тогда, опираясь на него, утверждение выводится для всех следующих значений $n$.

Сам по себе метод математической индукции означает, что, "начав с единицы и достаточно много раз прибавляя единицу, мы можем добраться до любого натурального числа".

[bot]

Aslan050592, "Предположим $A$, докажем $B$" - это импликация $A\Rightarrow B$. В индуктивном переходе используются импликации "$P_n \Rightarrow P_{n+1}, n=1,2,3, \ldots $" или в развёрнутом виде
$\begin{matrix}P_1 \Rightarrow P_{2}\\ P_2 \Rightarrow P_{3}\\ P_3 \Rightarrow P_{4}\\ \ldots \end{matrix}$ Не будем же мы доказывать эти импликации по одной - докажем сразу все.
Вот и делается индуктивное предположение - прямой путь для доказательства импликации. Можно и от противного - пусть не $B$, докажем не $A$.

[Aslan050592]

Спасибо за ответы. Вроде бы понятно, но как то сложновато всё еще. Импликация не простая штука)