Определить тип особых точек заданной функции и найти вычеты

[tremor]

Дана функция:

$$f(z) = \frac{e^{\frac{1}{z}}}{(z+2)^2}$$

Я переписал её так:

$$f(z) = e^{\frac{1}{z}}\cdot\frac{1}{(z+2)^2}$$

тогда видно, что в степени экспоненты у нас существенно особая точка, соответственно сделал замену $t = \frac{1}{z}$

Используя стандартное разложение экспоненты в ряд, получаем, что уже второй член ряда ($\frac{1}{z}$) дает нам искомый вычет $z^{-1} = 1$

В знаменателе у нас особая точка $z = -2$, что есть полюс второго порядка, но если использовать формулу для вычисления вычетов высших порядков, то вычет получается равен нулю, ибо:

$$\lim_{z \to -2}\frac{d}{dz}\frac{(z+2)^2}{(z+2)^2}= 0$$

что то меня все это смущает, я в правильном направлении копался?

[ex-math]

Вы правильно нашли вычеты каждого множителя в отдельности. Но вам нужен вычет их произведения. Методы те же -- в нуле разложить в ряд, в минус двойке по формуле.

[tremor]

ex-math в сообщении #1275502 писал(а):

Вы правильно нашли вычеты каждого множителя в отдельности. Но вам нужен вычет их произведения. Методы те же -- в нуле разложить в ряд, в минус двойке по формуле.

То-есть рассматривать всю функцию в целом для каждого случая, а не просто произведение числителя и знаменателя?

[Lia]

tremor в сообщении #1275509 писал(а):

То-есть рассматривать всю функцию в целом для каждого случая, а не просто произведение числителя и знаменателя?

Естественно. Это во-первых. А во-вторых, зачем Вам рассматривать все точки, если не секрет? Вы говорите о вычетах, а в каких точках их считаете - не говорите.
Задача с олимпиады недавно прошедшей, правильно я понимаю?

[tremor]

Lia в сообщении #1275527 писал(а):

tremor в сообщении #1275509 писал(а):

То-есть рассматривать всю функцию в целом для каждого случая, а не просто произведение числителя и знаменателя?

Естественно. Это во-первых. А во-вторых, зачем Вам рассматривать все точки, если не секрет? Вы говорите о вычетах, а в каких точках их считаете - не говорите.
Задача с олимпиады недавно прошедшей, правильно я понимаю?

Нет, задача для подготовки к экзамену по ТФКП :)

[Lia]

В таком случае сформулируйте ее полностью, пожалуйста.

[tremor]

Lia в сообщении #1275535 писал(а):

В таком случае сформулируйте ее полностью, пожалуйста.

Уже немогу подправить собственное сообщение :(

-- 17.12.2017, 01:43 --

для точки $z = -2$

вычет равен $-\frac14 e^{-1/2}$

Но как тогда поступить с точкой $z = 0$ ? :/

[Lia]

tremor в сообщении #1275585 писал(а):

Уже немогу подправить собственное сообщение :(

Ну и что? Вы написали функцию. Что сделать-то надо? Задание полностью, пожалуйста.

[tremor]

Lia в сообщении #1275588 писал(а):

tremor в сообщении #1275585 писал(а):

Уже немогу подправить собственное сообщение :(

Ну и что? Вы написали функцию. Что сделать-то надо? Задание полностью, пожалуйста.

Отыскать все особые точки, определить их тип, отыскать вычеты в этих точках.

[Lia]

tremor в сообщении #1275594 писал(а):

отыскать вычеты в этих точках.

tremor
Вы ж сами написали, что делать. Искать нужный к-т ряда Лорана. Ну, значит, надо искать.

[tremor]

Lia в сообщении #1275603 писал(а):

tremor в сообщении #1275594 писал(а):

отыскать вычеты в этих точках.

tremor
Вы ж сами написали, что делать. Искать нужный к-т ряда Лорана. Ну, значит, надо искать.

Я таки смущен тем, что делать со знаменателем дроби в данном случае.. Понятно, что дробь саму можно вынести за разложение экспоненты, разложить оную, до определенного члена. Но вот внеся ее обратно я не знаю как выделить вычет оттуда

[Metford]

tremor в сообщении #1275621 писал(а):

Понятно, что дробь саму можно вынести за разложение экспоненты, разложить оную, до определенного члена. Но вот внеся ее обратно я не знаю как выделить вычет оттуда

Стоп. Неужели Вы не сталкивались с такими вычислениями раньше - где-нибудь при вычислении пределов?
Вы, кстати, не хотите попробовать начать выписывать здесь то, что у Вас получается? Махать цифрами и буквами в воздухе - не самый удобный способ разбираться в чём-то.

[tremor]

Metford в сообщении #1275623 писал(а):

tremor в сообщении #1275621 писал(а):

Понятно, что дробь саму можно вынести за разложение экспоненты, разложить оную, до определенного члена. Но вот внеся ее обратно я не знаю как выделить вычет оттуда

Стоп. Неужели Вы не сталкивались с такими вычислениями раньше - где-нибудь при вычислении пределов?
Вы, кстати, не хотите попробовать начать выписывать здесь то, что у Вас получается? Махать цифрами и буквами в воздухе - не самый удобный способ разбираться в чём-то.

Вы имели ввиду решение пределов разложением в ряд? Тема была, но не так обширно, мы много лопиталили.

Если брать всю функцию, то я получаю вот такое вот убожество:

$$\frac{1}{(z+2)^2}\left(1+\frac{1}{z}+\frac{2}{z^2}\ldots\right)$$

По моему легче не стало, даже если скобки раскрыть

[Lia]

tremor в сообщении #1276180 писал(а):

то я получаю вот такое вот убожество:

И оно уже неверно.
А кто будет первый множитель раскладывать? Чтобы весь ряд, для всей функции выписать?

[tremor]

Lia в сообщении #1276185 писал(а):

tremor в сообщении #1276180 писал(а):

то я получаю вот такое вот убожество:

И оно уже неверно.
А кто будет первый множитель раскладывать? Чтобы весь ряд, для всей функции выписать?

То-есть я правильно понял, что необходимо раскладывать все, а далее уже перемножить почленно и смотреть где получается $z^{-1}$ ?