Теорема Абеля в задачах и решениях

[Sdy]

Возникла проблема, связанная с заданием из книги, указанной в заголовке.
Сначала опишу определения, вводимые автором, далее сформулирую проблему.

Определение 1.
Пусть $a$ - элемент некоторой группы $G$. Наименьшее натуральное число $n : a^{n} = e$, называются порядком элемента $a$.
Если такого $n$ не существует, то говорят, что $a$ - элемент бесконечного порядка.
Определение 2.
Если элемент $a$ имеет порядок $n$ и кроме элементов $e, a, a^{2}, ..., a^{n-1} $ в группе $G$ больше нет элементов, то G - циклическая группа порядка $n$, порождённая элементом $a$, его называют образующим этой группы.
Пример. Пусть на плоскости дан правильный $n-$угольник. Рассмотрим все вращения плоскости (без переворачивания), переводящие правильный $n-$угольник в себя.

И вот, собственно,
Задание 31. Доказать, что эти вращения образуют циклическую группу порядка $n$.

В ответах дан лишь ответ : $2\pi/n$ - образующий элемент. И уже здесь затык.
Почему именно он? Как мне его найти самому (вроде бы ясно, что повороты на меньший угол уже не будут движениями, но надо же как-то это обосновать)? Как провести строгое доказательство?
То, есть вроде ясен план : нашли образующий, докажем, что остальные повороты - просто последовательное применение образующего элемента, и рано или поздно, но такими поворотами, мы вернем многоугольник в первоначальное положение. Но как его найти? Как доказать, что кроме $a,..., a^{n} $ нет больше в группе движений?

[Sonic86]

Sdy в сообщении #1275836 писал(а):

В ответах дан лишь ответ : $2\pi/n$ - образующий элемент. И уже здесь затык.
Почему именно он?

Ну вообще их там много. Просто этот - самый простой для проверки.

Sdy в сообщении #1275836 писал(а):

Как мне его найти самому (вроде бы ясно, что повороты на меньший угол уже не будут движениями, но надо же как-то это обосновать)?

Надо просто проверить, что порядок этого поворота - $n$ по определению.
В общем случае поиск образующего группы - нетривиальная задача.

Sdy в сообщении #1275836 писал(а):

Как доказать, что кроме $a,..., a^{n} $ нет больше в группе движений?

Еще $e$ забыли. Надо проверять в лоб по определению замкнутости группы, что композиция любых двух вращений $a^i$ и $a^j$ является неким вращением $a^k$.

[Sdy]

Sonic86 в сообщении #1275845 писал(а):

Ну вообще их там много. Просто этот - самый простой для проверки.

Много образующих элементов? Разве он не должен быть единственным? Или поворотов много?
У меня не очень всё гладко с геометрией и если в квадрате есть повороты на 0, 90, 180 и 270 градусов, то это я могу понять, могу даже сразу сказать, что поворот на 90 является образующим группы вращений. Хотелось бы понять, почему берется $2\pi/n$. До того как лезть в ответы,я его, вроде бы "почти" нашел. Но теперь нужно как-то доказать.
Или мы берем его и видим, что и все композиции его с ним же, вплоть до $n-$й степени являются движениями, а значит рассматриваем группу, в которую входят лишь они?

Sonic86 в сообщении #1275845 писал(а):

Надо просто проверить, что порядок этого поворота - $n$ по определению.
В общем случае поиск образующего группы - нетривиальная задача.

Если n раз повернуть любую точку многоугольника на $2\pi/n$, то ясно, что она перейдет в себя. Или же не ясно?

Sonic86 в сообщении #1275845 писал(а):

Еще $e$ забыли. Надо проверять в лоб по определению замкнутости группы, что композиция любых двух вращений $a^i$ и $a^j$ является неким вращением $a^k$.

Да вроде бы не забыл, ведь $a^n = e$ по определению. А дальше нужно подумать.

[Sonic86]

Sdy в сообщении #1275855 писал(а):

Много образующих элементов? Разве он не должен быть единственным? Или поворотов много?

Не должен. Можно для любого $n$ утверждать, что поворот на $-\frac{2\pi}{n}$ тоже является образующим, а при $n>2$ он отличен от поворота на $\frac{2\pi}{n}$. Есть и много других образующих.

Sdy в сообщении #1275855 писал(а):

У меня не очень всё гладко с геометрией и если в квадрате есть повороты на 0, 90, 180 и 270 градусов, то это я могу понять, могу даже сразу сказать, что поворот на 90 является образующим группы вращений. Хотелось бы понять, почему берется $2\pi/n$.

Постройте центр квадрата и соедините его отрезками со всеми вершинами квадрата. Какой минимальный угол между этими отрезками?
Аналогично и в общем случае: постройте центр правильного $n$-угольника $P_n$ и соедините его отрезками со всеми его вершинами. Какой минимальный угол между этими отрезками?

Sdy в сообщении #1275855 писал(а):

Или мы берем его и видим, что и все композиции его с ним же, вплоть до $n-$й степени являются движениями, а значит рассматриваем группу, в которую входят лишь они?

Вообще да, нам действительно еще придется взять группу движений 1-го рода $P_n$ и доказать, что там есть лишь повороты относительно центра на угол, кратный $\frac{2\pi}{n}$. Это несложно тоже, но еще зависит от того, какими геометрическими утверждениями Вы можете пользоваться. Например, знаете ли Вы, что все движения 1-го рода - это только переносы и повороты? Если да, то можно просто заметить, что переносы не подходят, затем проверить, куда переходит при поворотах центр $P_n$. Куда переходят его вершины? Какое отсюда следует свойство угла поворота?
Если Вы не знаете про движения 1-го рода, то тогда Вам будет сложнее. Но вообще не хотелось бы усложнять простую учебную задачу на теорию групп решением более сложной задачи о структуре группы движений на плоскости Тогда просто считайте, что Вам дано множество $G$ поворотов $P_n$ относительно его центра и доказывайте утверждения для него.

Sdy в сообщении #1275855 писал(а):

Если n раз повернуть любую точку многоугольника на $2\pi/n$, то ясно, что она перейдет в себя.

Это ясно. Этого вполне достаточно

Sdy в сообщении #1275855 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1275845 писал(а):

Еще $e$ забыли. Надо проверять в лоб по определению замкнутости группы, что композиция любых двух вращений $a^i$ и $a^j$ является неким вращением $a^k$.

Да вроде бы не забыл, ведь $a^n = e$ по определению. А дальше нужно подумать.

Кстати, можно не использовать явный вид элементов этой группы. Можно рассмотреть абстрактно $G$ как множество преобразований, переводящих $P_n$ в себя. И только отсюда сразу вывести, что $G$ - замкнуто относительно композиции. Можете выбрать любой удобный Вам способ.

[Sdy]

Sonic86 в сообщении #1275936 писал(а):

Не должен. Можно для любого $n$ утверждать, что поворот на $-\frac{2\pi}{n}$ тоже является образующим, а при $n>2$ он отличен от поворота на $\frac{2\pi}{n}$. Есть и много других образующих.

Понял, не подумал об этом.

Sonic86 в сообщении #1275936 писал(а):

Постройте центр квадрата и соедините его отрезками со всеми вершинами квадрата. Какой минимальный угол между этими отрезками?
Аналогично и в общем случае: постройте центр правильного $n$-угольника $P_n$ и соедините его отрезками со всеми его вершинами. Какой минимальный угол между этими отрезками?

Возьмём центр правильного $n$-угольника, соединим его отрезками со всеми вершинами нашего многоугольника. Минимальный угол между отрезками получается как раз - $2\pi/n$, так как мы разбили имеющиеся 360 градусов $n$ отрезками.
Если взять угол, меньший, чем этот, мы увидим, что при повороте на него не произойдет самосовмещения. Если взять больший - тоже. Значит можно считать поворот на такой угол относительно центр правильного многоугольника движением.
Далее мы видим, что у нас есть нулевой элемент, есть обратный, ясно, что есть ассоциативность. Нам осталось лишь доказать, что поворот является бинарной операцией, то есть группа замкнута. И так как мы уже установили, что $a^n = e$, получим циклическую группу.
Верная ли мысль?

Sonic86 в сообщении #1275936 писал(а):

Вообще да, нам действительно еще придется взять группу движений 1-го рода $P_n$ и доказать, что там есть лишь повороты относительно центра на угол, кратный $\frac{2\pi}{n}$. Это несложно тоже, но еще зависит от того, какими геометрическими утверждениями Вы можете пользоваться. Например, знаете ли Вы, что все движения 1-го рода - это только переносы и повороты? Если да, то можно просто заметить, что переносы не подходят, затем проверить, куда переходит при поворотах центр $P_n$. Куда переходят его вершины? Какое отсюда следует свойство угла поворота?
Если Вы не знаете про движения 1-го рода, то тогда Вам будет сложнее. Но вообще не хотелось бы усложнять простую учебную задачу на теорию групп решением более сложной задачи о структуре группы движений на плоскости Тогда просто считайте, что Вам дано множество $G$ поворотов $P_n$ относительно его центра и доказывайте утверждения для него.

Нет, пока не знаю про движения плоскости. Помимо этой книги я также смотрю лекции Савватеева ("Теория групп в геометрии"), но там пока что остановился на движениях окружности.

Sonic86 в сообщении #1275936 писал(а):

Кстати, можно не использовать явный вид элементов этой группы. Можно рассмотреть абстрактно $G$ как множество преобразований, переводящих $P_n$ в себя. И только отсюда сразу вывести, что $G$ - замкнуто относительно композиции. Можете выбрать любой удобный Вам способ.

Попробую доказать пока без абстракций.
Пусть $a^i$ - поворот на $(2i\pi)/n$ градусов, а $a^j$ - на $(2j\pi)/n$. Рассмотрим композицию этих поворотов : $a^ia^j$. Ясно, что если последовательно применить преобразование $a^i$, а затем $a^j$, то это будет поворот на $(2\pi(i+j))/n$. Если обозвать $i+j$ как $k$, то мы получили поворот на $(2\pik)/n$ градусов. Ясно, что мы "не вывалились" за наши движения, так как мы $i+j$ раз повернули наш многоугольник на угол в $2\pi/n$ градусов, а мы доказали, что этот поворот - движение.
Имеем совокупность поворотов, для которых выполнены все аксиомы группs, для которой мы, вдобавок, нашли образующий элемент. Мы видим, что все элементы этой группы - просто композиции нашего образующего самим с собой. В группе поворотов нет более элементов, кроме $a,...,a^n$, значит наша группа - циклическая группа порядка n.
Укажите, пожалуйста, на недочеты и ошибки.

[Sonic86]

Sdy в сообщении #1276607 писал(а):

Если взять угол, меньший, чем этот, мы увидим, что при повороте на него не произойдет самосовмещения. Если взять больший - тоже.

Если взять бОльший - иногда будет самосовмещаться.

Sdy в сообщении #1276607 писал(а):

Далее мы видим, что у нас есть нулевой элемент, есть обратный, ясно, что есть ассоциативность. Нам осталось лишь доказать, что поворот является бинарной операцией, то есть группа замкнута. И так как мы уже установили, что $a^n = e$, получим циклическую группу.
Верная ли мысль?

Да.

Sdy в сообщении #1276607 писал(а):

Нет, пока не знаю про движения плоскости.

Тогда забейте, считайте, что мы ограничились рассмотрением только поворотов относительно центра.

Sdy в сообщении #1276607 писал(а):

Пусть $a^i$ - поворот на $(2i\pi)/n$ градусов, а $a^j$ - на $(2j\pi)/n$. Рассмотрим композицию этих поворотов : $a^ia^j$. Ясно, что если последовательно применить преобразование $a^i$, а затем $a^j$, то это будет поворот на $(2\pi(i+j))/n$. Если обозвать $i+j$ как $k$, то мы получили поворот на $(2\pik)/n$ градусов. Ясно, что мы "не вывалились" за наши движения, так как мы $i+j$ раз повернули наш многоугольник на угол в $2\pi/n$ градусов, а мы доказали, что этот поворот - движение.
Имеем совокупность поворотов, для которых выполнены все аксиомы группs, для которой мы, вдобавок, нашли образующий элемент. Мы видим, что все элементы этой группы - просто композиции нашего образующего самим с собой. В группе поворотов нет более элементов, кроме $a,...,a^n$, значит наша группа - циклическая группа порядка n.
Укажите, пожалуйста, на недочеты и ошибки.

Все верно.

[Sdy]

Sonic86 в сообщении #1276619 писал(а):

Если взять бОльший - иногда будет самосовмещаться.

Да, увидел. Правда, поворот на такой угол можно получить, применив какое-то количество раз наш образующий, как я понимаю.

Sonic86 в сообщении #1276619 писал(а):

Тогда забейте, считайте, что мы ограничились рассмотрением только поворотов относительно центра.

Хорошо, я думаю, рано или поздно это таки всплывет.

Спасибо вам за ответы.