Выпрямление полей

[Nickspa]

Несколько задач на выпрямление полей. Вроде решил, но не уверен правильно ли делал. Может кто-нибудь посмотреть?

1. Выпрямить поля направлений уравнений $\dot{x}=t; \dot{x}=x^2$ в окрестности начала координат.
Первый диффеоморфизм $(t, x)\mapsto(t, x-\frac{t^2}{2})$
Второй $(t, x)\mapsto(t+\frac{1}{x}, x)$
2. Выпрямить интегральные кривые уравнения $\dot{x}=x+cost$.
Диффеоморфизм $(t, x)\mapsto(t, (x+\frac{cost}{2}-\frac{sint}{2})e^{-t})$
3. Выпрямить поле направлений уравнения $\dot{x}=x+te^t$
Диффеоморфизм $(t, x)\mapsto(t, xe^{-t}-\frac{t^2}{2})$

[Nickspa]

Может, стоит пояснить, что приведённые диффеоморфизмы - это мои решения. С помощью них выпрямляю. Может кто-нибудь посмотреть верны ли они?

[DeBill]

Nickspa
Все верно. Единственно: 1б) - это - не диффеоморфизм в окрестности нуля (хотя - и выпрямляет...).
Сделайте иначе: ищите диффео вида $(x,t)\mapsto (h(x,t),t) $. Проще всего - так: найдите решение $x =x(t,x_0)$ с НУ $x(0,x_0) = x_0$, и отправьте точку $(x,t)$ в точку $(x_0,t)$

[Nickspa]

DeBill в сообщении #1275474 писал(а):

Nickspa
Все верно. Единственно: 1б) - это - не диффеоморфизм в окрестности нуля (хотя - и выпрямляет...).
Сделайте иначе: ищите диффео вида $(x,t)\mapsto (h(x,t),t) $. Проще всего - так: найдите решение $x =x(t,x_0)$ с НУ $x(0,x_0) = x_0$, и отправьте точку $(x,t)$ в точку $(x_0,t)$

То есть Вы предлагаете решение отправлять в ординату его пересечения с осью $OX$? Ведь это же практически я и делал в других случаях, но там я "честно" вытаскивал константу из решения. А здесь не получается так сделать. Насколько законно то, что Вы предлагаете?

[DeBill]

Nickspa в сообщении #1275505 писал(а):

То есть Вы предлагаете решение отправлять в ординату его пересечения с осью $OX$?

Да. Собственно, теорема о выпрямлении именно так и доказывается.

Nickspa в сообщении #1275505 писал(а):

Насколько законно то, что Вы предлагаете?

Так что, Ваши упражнения - это чтоб лучше "прочувствовать доказательство".

Nickspa в сообщении #1275505 писал(а):

А здесь не получается так сделать.

Не получается - константу вытаскивать. А по предложенной схеме - получается.
Что же Вы не делаете? Нашли решение?

[Nickspa]

DeBill в сообщении #1275536 писал(а):

Nickspa в сообщении #1275505 писал(а):

То есть Вы предлагаете решение отправлять в ординату его пересечения с осью $OX$?

Да. Собственно, теорема о выпрямлении именно так и доказывается.

Nickspa в сообщении #1275505 писал(а):

Насколько законно то, что Вы предлагаете?

Так что, Ваши упражнения - это чтоб лучше "прочувствовать доказательство".

Nickspa в сообщении #1275505 писал(а):

А здесь не получается так сделать.

Не получается - константу вытаскивать. А по предложенной схеме - получается.
Что же Вы не делаете? Нашли решение?

$x=\frac{1}{C-t}$. При $t=0$ $x=\frac{1}{C}$. $(t, x) \to(t, \frac{1}{C})$. Верно?

-- 16.12.2017, 23:19 --

DeBill

Можете ещё на это посмотреть? topic123467.html

[DeBill]

Nickspa в сообщении #1275545 писал(а):

Верно?

Нет.$C= \frac{1}{x_0}$, так что $x=\frac{x_0}{1-tx_0}$. Выразите отсюда $x_0$ через $x$, и положите $H(x,t)= (x_0,t)$

[Nickspa]

DeBill в сообщении #1275550 писал(а):

Nickspa в сообщении #1275545 писал(а):

Верно?

Нет.$C= \frac{1}{x_0}$, так что $x=\frac{x_0}{1-tx_0}$. Выразите отсюда $x_0$ через $x$, и положите $H(x,t)= (x_0,t)$

$(t,x)\to(t,\frac{x}{tx+1})$? Но это только локально, так ведь? На всю плоскость не продолжается?

[DeBill]

Да!
Да. Да. А глобального и нет - вааще.