Теорема Осгуда

[Draeden]

Есть такая теорема Осгуда, она говорит, что уравнение

$x'=f(t,x), \quad f \in C$
$x(a)=x_0$

имеет не более одного решения, если выполнены условия:

$|f(t,x)-f(t,y)| \le \varphi ( |x-y| )$
$\varphi > 0, \quad \varphi \in C$
$\exists b > 0 \quad \int\limits_{+0}^b \frac 1 {\varphi} = +\infty$

Вообщем этакое послабление условий теоремы Коши ( там нужно $f \in C^1$ ).
Как её доказать ?

План примерно такой:

1. положить $a=0$, при этом "не нарушив общности"
2. найти окресность нуля, где разность $x-y$ сохраняет знак
3. оценить производную как $|x-y|' < \varphi(|x-y|)$
4. сделать противоречие с интегральным условием.

Вот только как это доказать строго...

[zoo]

см ИГ Петровский Лекции по теории обыкновенных диф. уравнений