Три цилиндра между стенками

[Mathew Rogan]

Всем привет. Помогите разобраться в задаче:
Три одинаковых цилиндра находятся между двумя вертикальными стенками, как показано на рисунке. Считая коэффициент трения везде одинаковым, найти при каком минимальном значении коэффициента трения возможно такое равновесие?

Проблема в том, что я не могу понять, как нужно направить силы трения. Пробовал по-разному (например, как на рисунке ниже), записывал условия равновесия, но правильный ответ никак не получается.

(Оффтоп)

Ответ должен получиться $\mu = \frac{3\sqrt{3}}{5}.$

[wrest]

Mathew Rogan в сообщении #1274040 писал(а):

Проблема в том, что я не могу понять, как нужно направить силы трения.

Силы трения всегда направлены так, чтобы препятствовать возникновению движения. Кроме того, они направлены по касательным к трущимся поверхностям.

Если у вас на картинке нарисован левый шар, то сила реакции опоры $N_3$ мне кажется лишней: я так понимаю, что цилиндры точно помещаются между стенками, так с чего бы им давить друг на друга? Кроме того, если это левый шар и он покоится, то сила трения очевидно направлена против силы тяжести. Чтобы цилиндры покоились, сумма всех сил трения действующих на цилиндры, очевидно, должна быть равна ровно сумме весов цилиндров.

Если верхний цилиндр убрать, то трения скольжения между двумя нижними цилиндрами вроде не должно быть, т.к. поскольку они одинаковые, то просто будут катиться друг по дружке.

[se-sss]

Ещё замечу(глядя на рисунок), что если сила реакции опоры $N$, то сила трения вовсе не обязательно ${\mu}N$. Это максимально возможная, но в конкретном примере необязательно достижимая.

В частности, это относится к $N_3$.
А у есть есть ещё симметрия на картинке, поэтому между нижними шариками действительно не будет трения.
(Из 3-го закона Ньютона силы трения противоположно направлены, из симметрии - одинаково, т.е. подходит только нулевой вариант.)

[svv]

Восхитительная задачка. В олимпиадные бы её.

Хорошо, что в этой задачке симметрию можно не предполагать заранее, а обосновать.

[Mathew Rogan]

Насчёт $N_3$ я как раз сомневался. Хорошо, раз её нет, это упростит дело.
Если у нас остаются только две силы трения, они должны быть равны по модулю, чтобы их моменты уравновешивали друг друга. То есть, если первую направить вверх, вторая должна быть приложена, как на рисунке:

Верен ли рисунок теперь?

-- 11.12.2017, 19:55 --

(Оффтоп)

svv в сообщении #1274063 писал(а):

Восхитительная задачка. В олимпиадные бы её.

Мне тоже сильно нравится. Обожаю задачи, где вообще ничего не дано, но ответ нужно дать вполне конкретным числом.

[fred1996]

Mathew Rogan
В таких задачах можно сразу прикинуть число неизвестных и число уравнений. Если они совпал, то все ок. Если нет, значит вы что-то не учли.
Для нарисованного шара у нас 3 уравнения статики и еще одно уравнение для верхнего шара( используем симметрию). Ну и неизвестных у вас четыре.
Дело в том, что пока рано силы трения выражать через реакции опоры. У вас же статика, так что твердого соотношения там нет. То есть все силы надо вычислить как независимые, а потом сравнить силы трения с реакциями опоры и посмотреть, для каких к-тов трения такие соотношения возможны.
PS. На мой взгляд на олимпиадность такая задача не тянет, поскольку требует вполне стандартных средств из раздела статика.

[Mathew Rogan]

fred1996 в сообщении #1274081 писал(а):

Mathew Rogan
Дело в том, что пока рано силы трения выражать через реакции опоры. У вас же статика, так что твердого соотношения там нет. То есть все силы надо вычислить как независимые, а потом сравнить силы трения с реакциями опоры и посмотреть, для каких к-тов трения такие соотношения возможны.

Хорошо, я понял. На рисунке надо отметить силы трения как $F_{тр1}$ и $F_{тр2}$. А с направлениями всё верно?

[pogulyat_vyshel]

Задача статически неопределима и некорректна в силу этого. Спасти положение можно если положить, что два нижних шара могут кататься без проскальзывания вверх-вниз, т. е. считать по условию реакции между нижними шарами и между каждым из них и стенкой реакциями идеальной связи. Ну а дальше по тексту: коэффициент сухого трения между верхним шаром и нижними известен и т. д.

[pogulyat_vyshel]

впрочем даже в такой постановке статическая неопределимость , а вместе с ней и некорректность остается

[fred1996]

pogulyat_vyshel
Я тоже сначала подумал, что есть некоторая неопределенность, которая может возникнуть в задачках по статике. Типа если верхним шаром как следует надавить, то там все и сожмется по сравнению с тем, как если бы тихонько положили верхний шар на нижние. Но в данной задаче это не тот случай. Как сожмется, так и разожмется. Число уравнений совпадает с числом неизвестных и даже есть единственный ответ.

[abcdd]

Верхний цилиндр как бы расклинивает два нижних цилиндра, прижимая их к стенкам. Нижние цилиндры должны вращаться, двигаясь вниз. И в то же время верхний цилиндр не даёт нижним цилиндрам вращаться за счёт трения между ними. Надо найти силу, с которой верхний цилиндр прижимает нижние цилиндры к стенкам.

[fred1996]

abcdd
Такие задачи решаются не на словах, а обычным составлением системы уравнений. На словах вы никогда не определите, что там происходит. Только в самых общих чертах - типа можно использовать симметрию, или что все силы трения равны между собой, поскольку цилиндры не крутятся, а нормальные силы моментов не создают.

[abcdd]

Цилиндры не движутся вниз, потому что их удерживает 2 силы трения, действующие на нижние цилиндры в точках соприкосновения со стенками. Одна сила $F = 3mg/2$. Верхний цилиндр расклинивает нижние цилиндры, прижимая их к стенкам. Эти силы действуют нормально к касательной, проходящей через точки соприкосновения цилиндров. Остаётся найти эти силы и вычислить коэффициент трения.

[fred1996]

abcdd
Ну и с чего вы решили, что сила трения $F=\frac32 mg$?
Учтите, что во всех взаимодействиях силы трения участвуют вместе с нормальными силами. Вы не можете их рассматривать отдельно. Вам нужно сотставить выражение для результирующей силы по вертикали и по горизонтали и приравнять их нулю.
Учитывая, что силы трения совпадают, у вас остается три уравнения и три неизвестных силы.
Надо выписать эти уравнения в проекциях сил на оси координат.

[abcdd]

Масса трёх цилиндров $3m$. Суммарная сила тяжести $F= 3mg$. Цилиндры удерживаются на месте силой трения. По закону Ньютона сила трения $F= 3mg$. Но так как она действует в двух точках, то $F=\frac32 mg$. На каждый нижний цилиндр верхний цилиндр действует с силой $F=\frac12 mg$. Эту силу разложить по проекциям. Найти составляющую, которая прижимает нижние цилиндры к стенкам и вычислить коэффициент. Я так думаю.