операторы, коммутация и общий базис

[pvp]

Заблудился в трех соснах. Простейшая вещь в которой где-то совершаю ошибку, но не вижу где.

Итак, есть три оператора: $A,\; B,\; C$

Их правила коммутации следующие: $[A,B]=0, \quad [A,C]=0, \quad [B,C]\neq0$ (1)

Составим два других оператора по правилу:
$H_1 = A + B, \quad H_2 = A + C$

(i) Из-за коммутации $A,\, B$ эти операторы имеют общий набор базисных векторов. Этот же набор векторов будет собственным и для $H_1$

(ii) Из-за коммутации $A,\, C$ эти операторы имеют общий набор базисных векторов. Этот же набор векторов будет собственным и для $H_2$

(iii) И в первом и во втором случаях речь идет о наборе собственных векторов оператора $A$.

Следовательно, у операторов $H_1, \, H_2$ есть общий набор собственных векторов - собственные вектора оператора $A$. Но $[H_1, H_2]\neq0$ и у них не может быть общего набора собственных векторов! В рассуждениях есть ошибка. Не подскажите, где?

Можно предположить, что условие непротиворечиво только если $A = I$, в этом случае любой базис будет собственным для $A$, и тогда (iii) неверно - речь идет о двух разных наборах, которые тем не менее, оба являются собственными для $A$. Но передо мной есть пример, когда $A$ - это не единичный вектор и условие (1) соблюдается.

[Gickle]

pvp
Вы на самом деле задали себе очень хороший вопрос. Советую вам посмотреть на задачу 1.25 "Задачи по квантовой механике" Галицкого, Карнакова, Когана (2-е изд, 1992).
P.S. На самом деле дурацкий совет я вам дал, если честно. Лучше сначала сами попробуйте подумать, какое условие на оператор $\hat{A}$ вы на самом деле под шумок наложили. Ну и правильный ответ можно найти в указанном выше источнике, если что.

[pvp]

Gickle в сообщении #1273815 писал(а):

pvp
Вы на самом деле задали себе очень хороший вопрос. Советую вам посмотреть на задачу 1.25 "Задачи по квантовой механике" Галицкого, Карнакова, Когана (2-е изд, 1992).
P.S. На самом деле дурацкий совет я вам дал, если честно. Лучше сначала сами попробуйте подумать, какое условие на оператор $\hat{A}$ вы на самом деле под шумок наложили. Ну и правильный ответ можно найти в указанном выше источнике, если что.

Спасибо! На подсознательном уровне ж понимал, что единичный оператор А, у которого вообще все собственные значения вырождены, помогает понять суть. Ну да, мой конкретный А - не единичный, но, действительно, оператор суммарного спина цепочки с вырожденными собственными значениями. И мое рассуждение (iii) в данной ситуации не верно точно также, как и для единичного оператора.

[Red_Herring]

Вы правильно поняли, что все дело в том, что общие базисы собственных векторов не совпадают, а это возможно только в случае, когда собственные значения вырождены. Самый известный пример это операторы углового момента $M_x,M_y,M_z, M^2$: там $M_x, M^2$ коммутируют, и т.д. , но $M_x,M_y$ не коммутируют и т.д.

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

Только вот это всё не физика, а чистая математика.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: предыдущий оратор совершенно прав.

[Cos(x-pi/2)]

Формулировка вопроса топикстартером действительно выглядит математической, но

(имхо, физический контекст подразумевался)

Это математика в квантовой теории, и она описывает очень важную физику.

Простой и важный пример: в квантовой механике часто встречается ситуация, когда физическая система обладает (в идеализированном, модельном описании) высокой симметрией, так что оператор Гамильтона коммутативен с генераторами неабелевой непрерывной группы симметрии (которые друг с другом не коммутируют).

В продолжение примера, указанного Red_Herring, можно вспомнить о такой физической системе, как электрон в атоме водорода в сферически симметричном поле ядра (или в "самосогласованном" поле ядра и остальных электронов в одноэлектронном приближении, если речь вести о валентном электроне многоэлектронного атома). Здесь гамильтониан коммутативен с тремя операторами проекций орбитального момента, не коммутирующими друг с другом. Поэтому оказывается, что одну и ту же энергию имеют состояния не только собственные для, например, проекции момента на ось $z,$ но и любые их линейные комбинации.


Общеизвестный пример таких комбинаций — $p$-состояния электрона (с орбитальным моментом $1,)$ для которых "облака вероятности" наглядно изображаются "гантельками", вытянутыми вдоль осей $x,$ $y$ или $z.$ Причём, направления декартовых осей $x,$ $y,$ $z$ можно ведь выбрать произвольно; любому повороту всей тройки осей соответствует унитарное преобразование волновых функций, и в этом смысле имеется бесконечно много способов выбрать базис с $p$-функциями.

В связи с этим некоторые студенты иногда спрашивают: "а как же на самом деле выглядит электронное облако вероятности? Куда направлена $p$-гантелька на самом деле?" (Аналогичный вопрос можно задать и про состояния с другими значениями орбитального момента).

Ответить можно в таком духе: в сферически симметричном поле электронное облако вероятности для состояния с ненулевым орбитальным моментом является как бы предельно "мягким", "бесформенным" — без всякой затраты энергии "гантельку" можно повернуть в любую сторону или деформировать её (взяв другую линейную комбинацию волновых функций электрона для того же вырожденного уровня энергии). Здесь "мягкость" — следствие сферической симметрии модели. На самом деле, в жизни, столь высокая симметрия хотя бы чуть-чуть но нарушается присутствием, например, других атомов. Если неподалёку есть другой атом, то, значит, есть и выделенное направление, и есть возмущение первоначального поля.

Возмущение, нарушающее исходную симметрию, снимает вырождение (или, в общем случае, понижает его кратность). В приближении теории возмущений "всамделишной" будет та линейная комбинация волновых функций исходного гамильтониана, которая принадлежит низшему уровню энергии, образовавшемуся из данного вырожденного уровня при снятии его вырождения. Образно говоря, исходное "бесформенное" облако вероятности электрона, жаждущего вступить с оболочкой другого атома в валентную связь, "держит нос по ветру": оно поворачивается (и деформируется, если надо) так, чтобы энергия всей системы понизилась. Чем заметнее понижение энергии при снятии вырождения, тем как бы "твёрже" становится атом в составе молекулы.

(P.S. Опять я не успел вовремя напечатать ответ, и опять многословен... Хотелось показать, как (имхо) тесно связаны математика и квантовая физика. Такой же рассказ про электронные облака без ссылок на математику в квантовой теории, наверное, выглядел бы фантазией, взятой с потолка. Математика в квантовой механике именно, как говорится, рулит; всем ходом физической мысли :-)

[pvp]

(Оффтоп)

Cos(x-pi/2) в сообщении #1274018 писал(а):

В связи с этим некоторые студенты иногда спрашивают: "а как же на самом деле выглядит электронное облако вероятности? Куда направлена $p$-гантелька на самом деле?" (Аналогичный вопрос можно задать и про состояния с другими значениями орбитального момента).

Огромное спасибо и за ответ на этот вопрос, который также меня волновал много времени!

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

Cos(x-pi/2) в сообщении #1274018 писал(а):

Это математика в квантовой теории, и она описывает очень важную физику.

Cos(x-pi/2), Вы дали хорошую физическую иллюстрацию, интересные пояснения. Но как ни крути, в исходном вопросе ТС нет никакой физики. Ответ не зависит от того, какой физический смысл имеют обсуждаемые операторы: спектральная теория операторов в гильбертовом пространстве - это чистая математика.

Скажу больше: в любом разделе физики есть математика. И она тоже описывает не менее важную физику. Но это ж не повод все матметоды физики причислять к физике.

P.S.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1274018 писал(а):

Хотелось показать, как (имхо) тесно связаны математика и квантовая физика. Такой же рассказ про электронные облака без ссылок на математику в квантовой теории, наверное, выглядел бы фантазией, взятой с потолка. Математика в квантовой механике именно, как говорится, рулит; всем ходом физической мысли

Полностью с Вами согласен! Но, на мой взгляд, не менее важно чётко понимать, где и благодаря чему красивая математика превращается в физику, а где всё ещё остаётся просто математикой, лишённой какого-либо физического смысла.