Spook писал(а):
В учебнике Колмогорова наткнулся в обосновании нерефлексивноси

:
В

существуют функционалы

которые не могут быть представлены в виде интеграла

. Обьясняется это тем, что заданный на непрерывных и ограниченных функциях функционал

в фиксированной точке

и продолженный на все

, не представляется таким интегралом.
Соответственно, как-то не очень этому верится, хотелось бы немного пояснить, почему так.
Ограниченные линейные функционалы на пространстве непрерывных функций -- это обобщённые функции. В частности, указанный пример -- это дельта-функция.
Почему он не представим интегралом в обычном смысле (Римана или Лебега)? Стандартный метод "пробных функций". Если функционал представлен как

и

, то он равен нулю на любых таких

. Однако любая функция

сколь угодно точно приближается в любой интегральной метрике непрерывными. При этом значения тех непрерывных функций в конкретной точке

не играют роли и, в частности, вполне могут быть нулевыми (шевеления непрерывной функции в малой окрестности мало влияют на интеграл). Следовательно,

-норма функции

равна нулю, но тогда и тождество

невозможно.
Обоснование не очень аккуратно, но оно по существу.