продолжение функционала

[Spook]

В учебнике Колмогорова наткнулся в обосновании нерефлексивноси $L_1$:
В $L_{\infty}$существуют функционалы $Ff$ которые не могут быть представлены в виде интеграла $\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)dx$. Обьясняется это тем, что заданный на непрерывных и ограниченных функциях функционал $Ff=f(x_0)$ в фиксированной точке $x_0$ и продолженный на все $L_{\infty}$, не представляется таким интегралом.

Соответственно, как-то не очень этому верится, хотелось бы немного пояснить, почему так.

[ewert]

Spook писал(а):

В учебнике Колмогорова наткнулся в обосновании нерефлексивноси $L_1$:
В $L_{\infty}$существуют функционалы $Ff$ которые не могут быть представлены в виде интеграла $\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)dx$. Обьясняется это тем, что заданный на непрерывных и ограниченных функциях функционал $Ff=f(x_0)$ в фиксированной точке $x_0$ и продолженный на все $L_{\infty}$, не представляется таким интегралом.

Соответственно, как-то не очень этому верится, хотелось бы немного пояснить, почему так.

Ограниченные линейные функционалы на пространстве непрерывных функций -- это обобщённые функции. В частности, указанный пример -- это дельта-функция.

Почему он не представим интегралом в обычном смысле (Римана или Лебега)? Стандартный метод "пробных функций". Если функционал представлен как

$$\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx$$

и $f(x_0)=0$, то он равен нулю на любых таких $f$. Однако любая функция $g$ сколь угодно точно приближается в любой интегральной метрике непрерывными. При этом значения тех непрерывных функций в конкретной точке $x_0$ не играют роли и, в частности, вполне могут быть нулевыми (шевеления непрерывной функции в малой окрестности мало влияют на интеграл). Следовательно, $L_2$-норма функции $g$ равна нулю, но тогда и тождество

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(x_0)$$

невозможно.

Обоснование не очень аккуратно, но оно по существу.

[Spook]

ewert спасибо, а нельзя как-нибудь попроще это обьяснить? Просто с обобщенными функциями не работал
Может быть стоит проверить размерность? То есть $L_1$ сепарабельно, а $L^{*}_{\infty}$ скорее всего нет, в силу того, что пространство $m$ несепарабельно, ну или как-нибудь так.

[Spook]

А верно утверждение, что если сопряженное пространство несепарабельно, то и к нему сопряженное несепарабельно?

[RIP]

Spook писал(а):

А верно утверждение, что если сопряженное пространство несепарабельно, то и к нему сопряженное несепарабельно?

Верно. Более того, пространство, сопряжённое к любому несепарабельному (не обязательно сопряжённому к чему-нибудь), несепарабельно.

[Spook]

RIP, спасибо. Тогда получается, если доказать, что $L_{\infty}$ несепарабельно, то и $L^{*}_{\infty}$ несепарабельно, а значит $L_1$ нерефлексивно, так как оно сепарабельно. Несепарабельность $L_{\infty}$ как я понял доказывается так же, как и несепарабельность $m$. Правильно рассуждаю?

P.S. Вы случайно не знаете, существует ли такое пространство, сопряженное к которому есть $L_1$? Давно уже с этим мучаюсь, но ничего толкового не выяснил.

[RIP]

Spook писал(а):

Правильно рассуждаю?

Звучит правдоподобно.

Spook писал(а):

P.S. Вы случайно не знаете, существует ли такое пространство, сопряженное к которому есть $L_1$?

Случайно не знаю.

[Spook]

RIP писал(а):

Звучит правдоподобно.

Отлично, значит доказано, что $L^{*}_{\infty}\neq L_1\neq L^{**}_1$ . Cпасибо.