Раскрытие несобственного интеграла

[Singular]

Если у Вас интерес к этому несчастному синусу чисто праздный - это одна ситуация, но если Вы пришли к интегралу с синусом из некоторой поставленной математической модели, то, смею высказать своё мнение, что у Вас закралась какая-то ошибка в математическую модель. "Cherchez la femme", как говорят французы, если под этой самой la femme понимать эту самую ошибку.

[SPgum]

Дело в том, что когда-то была решена задача.
Изгиб бесконечной балки лежащей на основании описывается диффуром учитывающим реакцию грунта.
Под частью бесконечной балки нет основания (это обстоятельство учитывается введением функции Хевисай). В случае симметричной нагрузки к уравнению применялось последовательно косинус преобразование Фурье и выражение функции прогибов было представленно!!!

$$y(x)=f(x)+\int_{0}^{\infty} \frac {\cos(zt)\cos(zx)} {z^4+4}\,dz \int_{0}^{d} {y(t)}\,dt$$

Использование преобразование произведения тригонометрических функций в сумму приводило
$\cos z(x-t)$ и $\cos z(x+t)$ где использовалась замена
$x-t=a$
поэтому возможны два случая когда
$x<t$ и когда $x>t$
В случае действия обратносимметричной нагрузки (в виде изгибающего момента) использовалось синус преобразование фурье,(покрайне мере, так было написанно) в результате чего в числителе должны были появится два синуса.
Сами выкладки не были представленны, поэтому я решал задачу с тем чтобы получить итоговое решение! В случае для косинуса все совпало!!!!
А вот с синусом беда, поскольку у тех авторов получились достаточно простые функции с разделяющимися переменными (практически в чем-то схожие, что и для косинуса) и разумеется не содеращие мнимой единицы!!!
Мне не дает покоя тот факт, что когда используется численный расчет, то при сложении, слагаемые содержащие мнимую единицу пропадают (поскольку имеют различный знак). Тоесть, если считать в Wolframe, то получается, вполне себе, действительное число!!!!

[NDP]

SPgum в сообщении #1239687 писал(а):

Использование преобразование произведения тригонометрических функций

уже не помогает?

[SPgum]

Так ведь, произведение косинусов сводится к сумме косинусов и с этим вопросов не возникает, а вот произведение синусов опять же ведет к сумме, но опять таки синусов, тоесть интеграл включает именно эту функцию!!

[NDP]

Не ведет.

[SPgum]

Только хотел возразить!!!!
Кинулся к справочнику, и понял, что посмотретрел не на ту строчку (как оказалось смотрел на произведение синуса на косинус)!!!
Огромное Спасибо!!!!

[SPgum]

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста с таким вопросом:
Ранее рассматривался интеграл вида

$$\int_{0}^{\infty} \frac{x^2\cos((q+t)x)}{x^4+k x^2+4} dx$$

где , $k>0$ и $k\neq4$.
Используя
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2\cos((q+t)x)}{x^4+kx^2+4} dx=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2e^{i(q+t)x}}{x^4+kx^2+4} dx=\pi i\left.\frac{ z^2e^{i(q+t)z}}{4z^3+2kz}\right|_{z=z_1}+\pi i\left.\frac{ z^2e^{i(q+t)z}}{4z^3+2kz}\right|_{z=z_2}$.
Получил выражение для этого интеграла в виде суммы произведений двух функций с разделяющимися переменными.
Вопрос состоит в том, что при сравнении результатов численного интегрирования, когда $0<q\leqslant5$ и $0,t\leqslant5$, результаты полностью совпадают, но при больших значениях полное расхождение. Возможно причина в том , что исходный интеграл расходится? Подскажите пожалуйста, как это проверить. Вроде как по признаками Абеля - Дирихле он должен иметь главное значение?

[provincialka]

А зачем у вас две переменные, $q, t$, если нужна только их сумма?
Интеграл сходится, без Абеля и без "главного значения", просто по признаку сравнения.

Другое дело, что при больших $m$ и $x$ вычисление $\cos(mx)$ может содержать большую погрешность из-за недостаточно точного значения $\pi$.

[Lia]

(Оффтоп)

Ыыыыыыы..... Опять "раскрытие". SPgum, ведь проходили вроде.

При больших значениях чего? У вас три параметра. Два, на самом деле. Но не важно. Кто большой?

SPgum в сообщении #1273663 писал(а):

Вроде как по признаками Абеля - Дирихле он должен иметь главное значение?

Это не лучший признак для работы с абсолютно сходящимися интегралами.

-- 10.12.2017, 17:57 --

Начиная с сообщения

SPgum в сообщении #1273663 писал(а):

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста с таким вопросом:

темы объединены.

[SPgum]

Ну, в качестве исходной задачи выступало интегральное уравнение
$y(x)=f(x)+\int_{0}^{\infty} \frac {kz^2+4} {z^4+kz^2+4} \int_{0}^{d} {y(t)\cos zt}\,dt\,{\cos zx}\,dz$
где предполагалось нахождение интеграла
$\int_{0}^{\infty} \frac {(kz^2+4)\cos zt\cos zx} {z^4+kz^2+4}\,dz$
в аналитическом виде
используя преобразование произведения тригонометрических функций в сумму получил
$\cos z(x-t)$ и $\cos z(x+t)$ поэтому возможны два случая когда
$x<t$ и когда $x>t$.
У меня возник вопрос, поскольку каждый из интегралов дает расходится начиная примерно с цифр 5,6! А при $k=0$ уравнение носит самый обычный вид где интегралы берутся из справочника.

-- 10.12.2017, 18:09 --

Я так понимаю, что Вы говорите о втором признаке сравнения?
Если существует предел
$\lim {\frac {(kz^2+4)\cos z(x-t)} {z^4+kz^2+4}}=M\\$\,
при $M=0$
то при сходимость интеграла
$\int {(z^4+kz^2+4)}dz\\$\
влечет за собой сходимость интеграла?
$\int {(kz^2+4)\cos z(x-t)}dz\\$\

[SPgum]

При при $x>10$ значение интеграла полученного в виде суммы произведений стремиться к нулю, а численное значение в wolfdam matematic дает шестизначное число и шестизначное слагаемое содержащее мнимую единицу
Если исходный интеграл сходится, то откуда такое расхождение?

[provincialka]

SPgum в сообщении #1273678 писал(а):

Я так понимаю, что Вы говорите о втором признаке сравнения?
Если существует предел
$\lim {\frac {(kz^2+4)\cos z(x-t)} {z^4+kz^2+4}}=M\\$,
при $M=0$
то при сходимость интеграла
$\int {(z^4+kz^2+4)}dz\\$
влечет за собой сходимость интеграла?
$\int {(kz^2+4)\cos z(x-t)}dz\\$

М.А.Булгаков писал(а):

Все с интересом прослушали это занимательное повествование, а когда Бегемот кончил его, все хором воскликнули:
-- Вранье!
-- И интереснее всего в этом вранье то, -- сказал Воланд, -- что оно -- вранье от первого до последнего слова.
-- Ах так? Вранье? -- воскликнул кот, и все подумали, что он начнет протестовать, но он только тихо сказал: -- История рассудит нас.

[SPgum]

Возможно я не разобрался в сути формулировки признака сравнения, однако это не отвечает на вопрос о расхождении значений при численном счете и вычислениях в аналитическом виде

[SPgum]

А что говорят персонажи Булгакова о такой записи:
Функция $f(z)=cosz(x-t)\\$ непрерывна на промежутке от ${(0;{\infty})}\\$
и $g(z)=\frac{1}{z^2+k+\frac{4}{z^2}}\\$
интеграл
$\int_{0}^{\infty}cosz(x-t)\,dz\leqslant1$ и $g(z)=\frac{1}{z^2+k+\frac{4}{z^2}}\mapsto0\\$ при $z\mapsto{\infty}\\$ ?
Если это верно, то я должен сравнить функцию $g(z)=\frac{1}{z^2+k+\frac{4}{z^2}}\\$ с $g(z)=\frac{1}{z^2}\\$ ?

[Someone]

А какие значения принимает параметр $k$?