Ошибки в школьных учебниках математики

[SpiderHulk]

Сейчас повторяю математику по углубленному учебнику Макарычева 9 класс, прочитал параграф про решение целых уравнений, взялся решать уравнение

$$x = 11 x^{5} + 12 x^{4}$$

Нашёл корень равный нулю, нашёл что других целых корней нет, но и всё, остальные корни не нашёл, а оно всего лишь третье по счёту после параграфа. Нашёл решение уравнений онлайн и получил вот такое решение:

$$x_{1} = 0$$

$$x_{2} = - \frac{3}{11} - \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}} + \frac{1}{2} \sinh{\left (\frac{1}{2} \log{\left (\frac{- 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121} + \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}}}{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121} + \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}}}\right|} \right )} \right )} \sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121} + \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}}}\right|} + \frac{1}{2} \cosh{\left (\frac{1}{2} \log{\left (\frac{- 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121} + \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}}}{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121} + \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}}}\right|} \right )} \right )} \sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121} + \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}}}\right|}$$

$$x_{3} = - \frac{3}{11} - \frac{1}{2} \cosh{\left (\frac{1}{2} \log{\left (\frac{- \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121}}{\left|{- \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121}}\right|} \right )} \right )} \sqrt{\left|{- \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121}}\right|} + \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}} - \frac{1}{2} \sinh{\left (\frac{1}{2} \log{\left (\frac{- \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121}}{\left|{- \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121}}\right|} \right )} \right )} \sqrt{\left|{- \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121}}\right|}$$

$$x_{4} = - \frac{3}{11} + \frac{1}{2} \cosh{\left (\frac{1}{2} \log{\left (\frac{- \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121}}{\left|{- \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121}}\right|} \right )} \right )} \sqrt{\left|{- \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121}}\right|} + \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}} + \frac{1}{2} \sinh{\left (\frac{1}{2} \log{\left (\frac{- \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121}}{\left|{- \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121}}\right|} \right )} \right )} \sqrt{\left|{- \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121}}\right|}$$

$$x_{5} = - \frac{1}{2} \cosh{\left (\frac{1}{2} \log{\left (\frac{- 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121} + \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}}}{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121} + \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}}}\right|} \right )} \right )} \sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121} + \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}}}\right|} - \frac{3}{11} - \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}} - \frac{1}{2} \sinh{\left (\frac{1}{2} \log{\left (\frac{- 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121} + \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}}}{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121} + \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}}}\right|} \right )} \right )} \sqrt{\left|{- 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + \frac{72}{121} + \frac{432}{1331 \sqrt{- \frac{2}{33 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{9}{1331} + \frac{\sqrt{10554}}{11979}} + \frac{36}{121}}}}\right|}$$

Формулы полностью не поместились

Решение чрезвычайно далёкое от описанных в параграфе. Учебник уже многократно переизданный, а там такие деморализующие ошибки

[worm2]

SpiderHulk в сообщении #1273435 писал(а):

параграф про решение целых уравнений

Не имеется ли тут в виду, что требуется найти только целые решения данного уравнения и доказать, что других целых решений нет?

[Pphantom]

Ну так к подобному результату могла привести опечатка в одной цифре. Например, достаточно заменить 4-ю степень на 3-ю, чтобы ответы стали вполне компактными, а уравнение - решаемым школьными методами.

[SpiderHulk]

worm2 в сообщении #1273437 писал(а):

Не имеется ли тут в виду, что требуется найти только целые решения данного уравнения и доказать, что других целых решений нет?

Нет

Pphantom в сообщении #1273439 писал(а):

Ну так к подобному результату могла привести опечатка в одной цифре. Например, достаточно заменить 4-ю степень на 3-ю, чтобы ответы стали вполне компактными, а уравнение - решаемым школьными методами

Судя по ГДЗ-сайтам там первый икс должен быть в 6 степени. Я просто слегка огорчился, потратив минут 25 на решение нерешаемого примера. И подобные ошибки я и в самих параграфах не так уж редко фиксирую. Казалось бы многократно переизданные учебники если и могут содержать ошибки, то очень труднообнаружимые. Неужели никто лет за -надцать изданий не заметил ошибки в этом примере?

[Dmitriy40]

SpiderHulk в сообщении #1273445 писал(а):

Неужели никто лет за -надцать изданий не заметил ошибки в этом примере?

Ну так найдите предыдущее издание и проверьте там этот пример. Если такой же - значит не заметили и тупо скопипастили. Если другой - скорее всего опечатка в последнем издании.

[Pphantom]

SpiderHulk в сообщении #1273445 писал(а):

Неужели никто лет за -надцать изданий не заметил ошибки в этом примере?

Если издание - не репринт, то его набирают заново, соответственно, при этом могут возникнуть новые ошибки, которых в предыдущих изданиях не было. Сейчас требования к оформлению школьных учебников постоянно меняются, поэтому перенабор почти наверняка был, а пропустить такую опечатку даже при качественной корректуре довольно легко.

[Skeptic]

SpiderHulk в сообщении #1273435 писал(а):

Сейчас повторяю математику по углубленному учебнику Макарычева 9 класс, прочитал параграф про решение целых уравнений, взялся решать уравнение

$$x = 11 x^{5} + 12 x^{4}$$

Нашёл корень равный нулю, нашёл что других целых корней нет, но и всё, остальные корни не нашёл, а оно всего лишь третье по счёту после параграфа.

Ваши затруднения непонятны, т.к. у Марычева "целые уравнения" - это уравнения с целыми коэффициентами. Корни могут быть любые. Если нет аналитического решения, то предлагается графический метод для приближённого нахождения корней с заданной точностью.

[Евгений Машеров]

Ещё круче.

Цитата:

О п р е д е л е н и е . Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого — целые выражения.

и

Цитата:

Целые выражения – это выражения из чисел и переменных, которые составлены с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля

То есть коэффициенты могут быть и дробные (и даже иррациональные). Да и корни тоже не обязаны быть целыми.
В данной задаче, полагаю, никакой ошибки нет. Надо найти один очевидный корень, можно попытаться угадать ещё корни, но достаточно просто проверяется, что рациональных корней нет (пример 2). Про возможность решать уравнения 4 степени (и третьей) по формуле в учебнике упоминается с пояснением, что "практически ими не пользуются" (и из вида решения, полученного пакетом, ясно, почему). Поэтому учебник предлагает решать приближённо, графически и уточняя решение численно. Описание этого метода решения как раз перед данной задачей, по всей видимости, предполагается, что им и воспользуются.

[wrest]

SpiderHulk в сообщении #1273435 писал(а):

Формулы полностью не поместились

Вольфрам альфа видит в уравнении первого поста темы только три вещественных корня а не пять, и подтверждает это графиком: https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... %5E4-x%3D0

SpiderHulk в сообщении #1273445 писал(а):

Судя по ГДЗ-сайтам там первый икс должен быть в 6 степени.

Тогда вещественных корней два, второй нецелый.

[Евгений Машеров]

Похоже, $x_3$ и $x_4$ записаны топикстартером не полностью. И что там точно потеряно - буква i.
А от школьника ожидалось, полагаю, быстренько найти очевидный корень x=0, убедиться, что другие легко не находятся, нарисовать график, какой Вольфрам нарисовал сразу же после значений корней, найти приближённые корни и уточнить их. Комплексные в 9 классе вроде ещё не изучают?