Задача об изометрических погружениях плоскости лобачевского

[emika]

Здравствуйте, пытаюсь понять как решить задачу об изометрических погружениях плоскости лобачевского в евклидово пространство r3. Не могу понять каким путем надо идти. Методои м перебора, находя квадратичные формы и кривизны для разных поверностей или есть другой способ? Пытался решить методом Миндинга, но во первых это даст только поверхность образованную вращением вокруг асимтоты трактрисы, а во вторых не могу понять как решить аналитически диффур который получается из уравнения кривизны при k=-1

[Metford]

Если я Вас правильно понял, то, возможно, Вам интересно будет посмотреть раздел о поверхностях постоянной отрицательной кривизны в книге Рашевского "Курс дифференциальной геометрии".

[emika]

Metford
Спасибо, но это не совсем то что я искал)
Мне надо найти найти поеврхность инжуциированная метрика которой вR3 совпадает с метрикой плоскости лооачевского. Я так понял что это псевдосфера, но я не понимаю как мне надо придти к этому решению.

[svv]

(Оффтоп)

emika в сообщении #1273014 писал(а):

Мне надо найти найти поеврхность поверхность инжуциированная, индуцированная метрика которой вR3 в $\mathbb R^3$ совпадает с метрикой плоскости лооачевского Лобачевского.

Как в известной шутке. Объявление в газете: Бсытро и квакчественно наебру лбюой тектс.

emika в сообщении #1273014 писал(а):

Спасибо, но это не совсем то что я искал)

Почти то. Ведь известно, что:
1) плоскость Лобачевского имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну;
2) гауссова кривизна определяется метрикой.
Значит, изометрическое погружение (куска) плоскости Лобачевского будет иметь постоянную отрицательную гауссову кривизну. Вот и давайте посмотрим у Рашевского, какие поверхности обладают этим свойством.

[emika]

svv
Спасибо )
То есть по сути я должен просто перебрать поверхности, а не выводить их каким то образом?

[svv]

Тут, скорее, акцент на том, чтобы вместо поиска поверхности, обладающей заданными метрическими свойствами, искать поверхности постоянной отрицательной кривизны.
Грань между «выводом», «поиском», «перебором» размыта. Как именно надо искать такие поверхности — это другой вопрос, и его решение предлагается подсмотреть в книге.

[emika]

svv
Спасибо :)

[v_n]

Нагуглил такую фразу.

Известна теорема Д.Гильберта [1] о том, что полная плоскость. Лобачевского не может быть изометрически и регулярно погружена в трехмерное евклидово пространство Е3.

Ваша задача не имеет решения.

[svv]

Я поэтому выше написал

svv в сообщении #1273023 писал(а):

изометрическое погружение (куска) плоскости Лобачевского

Т.е. сделаем лучшее из того, что возможно.