2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 13:10 


07/08/14
2588
Если $a,n$ - целые, $n>1$, то $(1+a^n)^{\frac {1}{n}}$ - иррациональное?
(Следствие из теоремы Ферма:
$(1+a^n)^{\frac{1}{n}}=\frac{c}{b}$
$(1+a^n)=\frac{c^n}{b^n}$
$b^n+(ab)^n \ne c^n \Rightarrow (1+a^n)^{\frac{1}{n}} \ne \frac{c}{b} $

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5465
upgrade в сообщении #1271890 писал(а):
Если $a,n$ - целые, $n>1$, то $(1+a^n)^{\frac {1}{n}}$ - иррациональное?
(Следствие из теоремы Ферма:
Следствие только для $n>2$. А вообще всё намного проще. Вместо $1+a^n$ можете рассмотреть любое натуральное $z$. И заметить, что корень какой-то степени из него либо целое число, либо иррациональное.

-- 04.12.2017, 13:58 --

Да, ещё случаи $a=0, a=-1$ для Вашей формулировки нужно рассматривать отдельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 14:15 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
Действительно, если $x^n=1+a^n$ ($x$-целое), тo $x^n-a^n=1$, что невозможно, т.к $x^n-a^n=b(x-a)$, где $b \ge 2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5465
pcyanide

(Оффтоп)

Осторожнее, на этом форуме в разделах ПРР (помогите решить / разобраться) можно только исправлять ошибки или помогать подсказками, но нельзя приводить подробные решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 15:19 


07/08/14
2588
pcyanide в сообщении #1271909 писал(а):
Действительно, если $x^n=1+a^n$ ($x$-целое), тo $x^n-a^n=1$, что невозможно, т.к $x^n-a^n=b(x-a)$, где $b \ge 2$

Так $x$ - дробное, но не факт что иррациональное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 15:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5465
del.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 15:30 


07/08/14
2588
grizzly
Что то у меня с наскоку не получается ((

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5465
upgrade
Не пойму, в чём затруднение. Пусть $z$ -- натуральное. Тогда, если $z=\frac{a^n}{b^n}$, то нужно доказать, что $a$ и $b$ не могут быть взаимно просты. Получится противоречие.

Или так. $\frac{c^n}{b^n}=a^n+1$. Тогда $\frac{c^n}{b^n}$ -- целое. Об этом говорит pcyanide.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение05.12.2017, 02:28 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
upgrade в сообщении #1271925 писал(а):
Так $x$ - дробное, но не факт что иррациональное.


Ранее шла речь о том, что результат либо целое, либо иррациональное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение05.12.2017, 23:58 


07/08/14
2588
grizzly
pcyanide
Я из
pcyanide в сообщении #1272123 писал(а):
Или так. $\frac{c^n}{b^n}=a^n+1$. Тогда $\frac{c^n}{b^n}$ -- целое. Об этом говорит pcyanide.


Про целое понял, что не целое, т.к. скобка $(x-a)$ должна быть дробной, чтобы получилось $\frac{1}{b}$, чтобы получилась единица. А дробной она может быть, если или $x$ или $a$ дробное, т.е. противоречие.
Про то что не просто не целое, а иррациональное пока соображаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group