Иррациональные числа

[upgrade]

Если $a,n$ - целые, $n>1$, то $(1+a^n)^{\frac {1}{n}}$ - иррациональное?
(Следствие из теоремы Ферма:
$(1+a^n)^{\frac{1}{n}}=\frac{c}{b}$
$(1+a^n)=\frac{c^n}{b^n}$
$b^n+(ab)^n \ne c^n \Rightarrow (1+a^n)^{\frac{1}{n}} \ne \frac{c}{b} $

[grizzly]

upgrade в сообщении #1271890 писал(а):

Если $a,n$ - целые, $n>1$, то $(1+a^n)^{\frac {1}{n}}$ - иррациональное?
(Следствие из теоремы Ферма:

Следствие только для $n>2$. А вообще всё намного проще. Вместо $1+a^n$ можете рассмотреть любое натуральное $z$. И заметить, что корень какой-то степени из него либо целое число, либо иррациональное.

-- 04.12.2017, 13:58 --

Да, ещё случаи $a=0, a=-1$ для Вашей формулировки нужно рассматривать отдельно.

[pcyanide]

Действительно, если $x^n=1+a^n$ ($x$-целое), тo $x^n-a^n=1$, что невозможно, т.к $x^n-a^n=b(x-a)$, где $b \ge 2$

[grizzly]

pcyanide

(Оффтоп)

Осторожнее, на этом форуме в разделах ПРР (помогите решить / разобраться) можно только исправлять ошибки или помогать подсказками, но нельзя приводить подробные решения.

[upgrade]

pcyanide в сообщении #1271909 писал(а):

Действительно, если $x^n=1+a^n$ ($x$-целое), тo $x^n-a^n=1$, что невозможно, т.к $x^n-a^n=b(x-a)$, где $b \ge 2$

Так $x$ - дробное, но не факт что иррациональное.

[grizzly]

del.

[upgrade]

grizzly
Что то у меня с наскоку не получается ((

[grizzly]

upgrade
Не пойму, в чём затруднение. Пусть $z$ -- натуральное. Тогда, если $z=\frac{a^n}{b^n}$, то нужно доказать, что $a$ и $b$ не могут быть взаимно просты. Получится противоречие.

Или так. $\frac{c^n}{b^n}=a^n+1$. Тогда $\frac{c^n}{b^n}$ -- целое. Об этом говорит pcyanide.

[pcyanide]

upgrade в сообщении #1271925 писал(а):

Так $x$ - дробное, но не факт что иррациональное.

Ранее шла речь о том, что результат либо целое, либо иррациональное число.

[upgrade]

grizzly
pcyanide
Я из

pcyanide в сообщении #1272123 писал(а):

Или так. $\frac{c^n}{b^n}=a^n+1$. Тогда $\frac{c^n}{b^n}$ -- целое. Об этом говорит pcyanide.

Про целое понял, что не целое, т.к. скобка $(x-a)$ должна быть дробной, чтобы получилось $\frac{1}{b}$, чтобы получилась единица. А дробной она может быть, если или $x$ или $a$ дробное, т.е. противоречие.
Про то что не просто не целое, а иррациональное пока соображаю.