2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 13:10 


07/08/14
2094
Если $a,n$ - целые, $n>1$, то $(1+a^n)^{\frac {1}{n}}$ - иррациональное?
(Следствие из теоремы Ферма:
$(1+a^n)^{\frac{1}{n}}=\frac{c}{b}$
$(1+a^n)=\frac{c^n}{b^n}$
$b^n+(ab)^n \ne c^n \Rightarrow (1+a^n)^{\frac{1}{n}} \ne \frac{c}{b} $

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4889
upgrade в сообщении #1271890 писал(а):
Если $a,n$ - целые, $n>1$, то $(1+a^n)^{\frac {1}{n}}$ - иррациональное?
(Следствие из теоремы Ферма:
Следствие только для $n>2$. А вообще всё намного проще. Вместо $1+a^n$ можете рассмотреть любое натуральное $z$. И заметить, что корень какой-то степени из него либо целое число, либо иррациональное.

-- 04.12.2017, 13:58 --

Да, ещё случаи $a=0, a=-1$ для Вашей формулировки нужно рассматривать отдельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 14:15 
Аватара пользователя


01/12/17
86
Мельбурн
Действительно, если $x^n=1+a^n$ ($x$-целое), тo $x^n-a^n=1$, что невозможно, т.к $x^n-a^n=b(x-a)$, где $b \ge 2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4889
pcyanide

(Оффтоп)

Осторожнее, на этом форуме в разделах ПРР (помогите решить / разобраться) можно только исправлять ошибки или помогать подсказками, но нельзя приводить подробные решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 15:19 


07/08/14
2094
pcyanide в сообщении #1271909 писал(а):
Действительно, если $x^n=1+a^n$ ($x$-целое), тo $x^n-a^n=1$, что невозможно, т.к $x^n-a^n=b(x-a)$, где $b \ge 2$

Так $x$ - дробное, но не факт что иррациональное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 15:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4889
del.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 15:30 


07/08/14
2094
grizzly
Что то у меня с наскоку не получается ((

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение04.12.2017, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4889
upgrade
Не пойму, в чём затруднение. Пусть $z$ -- натуральное. Тогда, если $z=\frac{a^n}{b^n}$, то нужно доказать, что $a$ и $b$ не могут быть взаимно просты. Получится противоречие.

Или так. $\frac{c^n}{b^n}=a^n+1$. Тогда $\frac{c^n}{b^n}$ -- целое. Об этом говорит pcyanide.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение05.12.2017, 02:28 
Аватара пользователя


01/12/17
86
Мельбурн
upgrade в сообщении #1271925 писал(а):
Так $x$ - дробное, но не факт что иррациональное.


Ранее шла речь о том, что результат либо целое, либо иррациональное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные числа
Сообщение05.12.2017, 23:58 


07/08/14
2094
grizzly
pcyanide
Я из
pcyanide в сообщении #1272123 писал(а):
Или так. $\frac{c^n}{b^n}=a^n+1$. Тогда $\frac{c^n}{b^n}$ -- целое. Об этом говорит pcyanide.


Про целое понял, что не целое, т.к. скобка $(x-a)$ должна быть дробной, чтобы получилось $\frac{1}{b}$, чтобы получилась единица. А дробной она может быть, если или $x$ или $a$ дробное, т.е. противоречие.
Про то что не просто не целое, а иррациональное пока соображаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ragnarek


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group