2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Двукратная сумма
Сообщение29.11.2017, 19:04 
Аватара пользователя


22/11/13
166
Известно, что:

$\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{mn(m+n)}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{H_{n}}{n^2}=\zeta(3)$

Первое преобразование, вероятно, получено следующим образом:

$\sum\limits_{a=1}^{b}\frac{1}{a}=\sum\limits_{a=1}^{\infty}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b})=\sum\limits_{a=1}^{\infty}\frac{b}{a(a+b)}$

$\sum\limits_{a}^{b}\frac{1}{b^2a}=\sum\limits_{a=1}^{\infty}\frac{1}{ab(a+b)}=\frac{H_{b}}{b^2}$

Каким образом получено второе? Какие существуют тривиальные аналоги типа:

$\zeta(4)=\frac{4}{5}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{H_{n}}{n^3}=\frac{4}{7}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{H_{2,n}}{n^2}$ (где $H_{m,n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k^m}$)

Существует ли трехкратная сумма? Имеет ли она следующий вид:

$\sum\limits_{a=1}^{\infty}\sum\limits_{b=1}^{\infty}\sum\limits_{c=1}^{\infty}\frac{1}{abc(a+b+c)}=\sum\limits_{a=1}^{\infty}\sum\limits_{b=1}^{\infty}\frac{H_{a+b}}{ab(a+b)}$

Во что это можно преобразовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двукратная сумма
Сообщение30.11.2017, 23:20 
Заслуженный участник


03/01/09
1230
москва
kthxbye в сообщении #1270171 писал(а):
Известно, что:

$\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{mn(m+n)}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{H_{n}}{n^2}=\zeta(3)$


Нет ли здесь ошибки? Потому что: $\frac 12\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac {H_n}{n^2}>\frac 12\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac {1+\frac 1n}{n^2}=\frac 12(\zeta (2)+\zeta (3))>\zeta (3)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двукратная сумма
Сообщение01.12.2017, 00:14 
Заслуженный участник


28/04/09
1834
mihiv
$H_n< 1+\frac{1}{n}$ при $n=1$, поэтому ошибки нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двукратная сумма
Сообщение03.12.2017, 14:05 
Заслуженный участник


28/04/09
1834
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^2}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{H_{n-1}}{n^2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{H_{n-1}}{n^2}+\zeta(3)$$Но$$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{H_{n-1}}{n^2}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\sum\limits_{n=k+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$Т.е. нужно доказать, что$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\sum\limits_{n=k+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\zeta(3)$$Обозначим$$S=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{H_{n-1}}{n^2}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}$$и изменим порядок суммирования так, чтобы внутреннее суммирование производилось вдоль диагонали $n-k=m$:$$S=\sum\limits_{m=1}^{\infty}\sum\limits_{n=m+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\cdot\frac{1}{n-m}$$$$\sum\limits_{n=m+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\cdot\frac{1}{n-m}=\sum\limits_{n=m+1}^{\infty}\frac{1}{nm}\left(\frac{1}{n-m}-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{m}\left(\sum\limits_{n=m+1}^{\infty}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n-m}-\sum\limits_{n=m+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right)=$$$$=\frac{1}{m}\left(\frac{1}{m}\sum\limits_{n=m+1}^{\infty}\left(\frac{1}{n-m}-\frac{1}{n}\right)-\sum\limits_{n=m+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right)=\frac{H_m}{m^2}-\frac{1}{m}\sum\limits_{n=m+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$Таким образом,$$S=\sum\limits_{m=1}^{\infty}\left(\frac{H_m}{m^2}-\frac{1}{m}\sum\limits_{n=m+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right)=S+\zeta(3)-\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}\sum\limits_{n=m+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$Откуда$$\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}\sum\limits_{n=m+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\zeta(3)$$Странное получилось решение. Есть отчетливое ощущение, что где-то в нем засела ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двукратная сумма
Сообщение04.12.2017, 22:11 
Аватара пользователя


22/11/13
166
EtCetera в сообщении #1271400 писал(а):
$$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\sum\limits_{n=k+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$

Не понял каким образом осуществлено данное преобразование, и, поскольку я дилетант, показалось, что вы сначала к нему пришли описанным далее путём, а потом как бы его же и доказали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двукратная сумма
Сообщение04.12.2017, 22:23 
Заслуженный участник


28/04/09
1834
kthxbye в сообщении #1272056 писал(а):
Не понял каким образом осуществлено данное преобразование
Обычное изменение порядка суммирования (дискретный аналог изменения порядка интегрирования у двойного интеграла).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group