Про дзета функцию Римана и постоянную Эйлера

[juna]

Пусть $\zeta(s)$ – дзета-функция Римана, $\gamma$ – постоянная Эйлера, обозначим $E(s)=\zeta(s)-1$, тогда имеем:
$\gamma=\frac {1}{2} E(2)+\frac {2}{3} E(3)+\frac{3}{4} E(4)+…(что-то подобное представлено на mathworld.wolfram.com)
$1=E(2)+E(3)+E(4)+E(5)+E(6)+E(7)+…$
$1=2E(3)+3E(4)+4E(5)+5E(6)+6E(7)+…$
$1=3E(4)+6E(5)+10E(6)+15E(7)+21E(8)+…$
$1=4E(5)+10E(6)+20E(7)+35E(8)+56E(9)+…$
$1=5E(6)+15E(7)+35E(8)+70E(9)+126E(10)+…$
и т.д.

$\frac {1}{2}= E(2)-E(3)+E(4)-E(5)+E(6)-…$
$\frac{1}{2^2}= 2E(3)-3E(4)+4E(5)-5E(6)+6E(7)+…$
$\frac{1}{2^3}= 3E(4)-6E(5)+10E(6)-15E(7)+21E(8)+…$
$\frac{1}{2^4}= 4E(5)-10E(6)+20E(7)-35E(8)+56E(9)+…$
$\frac{1}{2^5}= 5E(6)-15E(7)+35E(8)-70E(9)+126E(10)+…$
и т.д.
Далее из этих тождеств выводится бесконечно много подобных. Можно было бы выписать общие формулы, справедливые и для действительных, комплексных значений дзета-функции.

[juna]

В общем случае для любых действительных, комплексных s справедливы следующие формулы:
${\Gamma}(s+1)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{\Gamma(n+s)(\zeta(n+s)-1)}{\Gamma(n)}}$
$\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s+1}}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{\Gamma(n+s)(-1)^{n}(\zeta(n+s)-1)}{\Gamma(n)}}$