Шары и урны

[I,Voyager]

Есть две урны, в первой лежит n белых шаров, во второй - n черных. Из первой урны выбрасывается один шар, после чего из второй урны один шар перекладывается в первую. Эти два действия повторяются, пока вторая урна не опустеет. После этого из первой урны достается еще один шар. Какова вероятность, что он черный?

Пока не могу понять, с какой стороны подойти к этой задаче. Вероятность возникновения всех последовательностей шаров различается. Вероятность вытащить черный шар на различных шагах тоже, и найти какую-то явную ее зависимость от номера шага мне не удалось.

[StaticZero]

Пусть $A_{ik}$ - состояние системы, когда в первой помойке находится $i$ чёрных шаров, а во второй помойке $k$ чёрных шаров. Разрешены только переходы $A_{ik} \to A_{i + 1, k - 1}$ и $A_{ik} \to A_{i, k - 1}$. После всех перемещений у вас образуется система неперекрывающихся состояний $A_{i, 0}$, в которых вы можете оказаться с вероятностями $p_{i, 0}$, $i > 0$, при этом $\sum_i p_{i, 0} = 1$. После этого вы вытаскиваете чёрный шар с вероятностью $i/n$. Дальше формула полной вероятности.

Осталось посчитать вероятности $p_{i, 0}$. В состоянии $A_{i, 0}$ можно оказаться либо путём перехода $A_{i-1, 1} \to A_{i, 0}$ (выбросили белый, положили последний чёрный), либо путём перехода $A_{i, 1} \to A_{i, 0}$ (выбросили чёрный, положили чёрный). Сумма вероятностей переходов по каждому "каналу" равна 1, они исключают друг друга, опять формула полной вероятности.

Оказаться в состоянии $A_{i, 1}$ можно с вероятностью $p_{i, 1}$ путём переходов из состояний $A_{i - 1, 2}$ или $A_{i, 2}$. Вероятности переходов очевидны, нужно найти вероятности оказаться в каждом из этих двух состояний. И так далее. Так вы опуститесь до начального состояния $A_{0, n}$, вероятность которого единица. Будет некое рекуррентное соотношение. (Хотя можно замучиться искать решение.)

-- 28.11.2017, 19:03 --

Да, и из состояния $A_{0, n}$ вы без вариантов оказываетесь в состоянии $A_{1, n-1}$, а там уже как пойдёт.

[provincialka]

Последите за белыми шарами. Посчитайте для каждого вероятность, что он останется белым (считайте, что шары различимы).

[I,Voyager]

Спасибо, разобрался.