Линейная система с постоянными коэффицентами

[timas-cs]

Дифуры. Линейная система с постоянными коэффицентами
$x'=2x+3y$
$y'=x+4y$
$y(0)=0;x(0)=-1$ Не совсем понятно, что делать с этим условием. Решал так:

$$\begin{pmatrix} 2-\lambda& 3& \\ 1& 4-\lambda& \\ \end{pmatrix}$$

Корни: 5 и 1.
Для $\lambda_1=5$ $c_1=$

$$\begin{pmatrix} 1&\\ 1& \end{pmatrix}$$

Для $\lambda_2=1$ $c_2=$

$$\begin{pmatrix} 3&\\ -1& \end{pmatrix}$$

Решение: $C_1c_1{e}^{5t}+C_2c_2{e}^{t}$
Правильно ли?

[iifat]

Решение чего? Как может функция быть решением системы двух уравнений?

[Slav-27]

Продифференцируйте и проверьте.

[timas-cs]

iifat
Общее решение системы

$$\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}$$

=тому, что я написал в первом посте.

[ewert]

timas-cs в сообщении #1269282 писал(а):

Общее решение системы

$$\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}$$

=тому, что я написал в первом посте.

Предположим. Но к какой букве относилась Ваша замечательная формула: к иксу, к игреку или к тау Кита?...

[svv]

Та формула объединяет две различные формулы — для $x$ и $y$, потому что в ней $c_1$ и $c_2$ — векторы:
$c_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\,,\quad c_2=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$

-- Вс ноя 26, 2017 21:18:21 --

timas-cs
Если Вы не уверены, правильное получилось решение или нет, проверьте его подстановкой, о результате сообщите.

[timas-cs]

svv
Если $c_1$ прославить в первое и второе , то $x',y'=5$
Если $c_2$ прославить в первое и второе , то $x',y'=3,-1$

[svv]

Простите, я ничего не понял. Нету у нас таких формул, куда надо подставлять только $c_1$ или только $c_2$.
Вы мне скажите, сошлось или не сошлось? Надо было проверить, что после подстановки всех $c$
$x'=2x+3y$
$y'=x+4y$

[timas-cs]

svv
Вроде бы правильно, только в $ c_1 $ нижнее это -1. Но я не учитывал условие. Так и не разобрался

[svv]

timas-cs в сообщении #1269668 писал(а):

только в $ c_1 $ нижнее это -1.

Не думаю.
Теперь Вам надо в решение подставить $t=0, x=x(0), y=y(0)$, из полученных уравнений найти $C_1, C_2$, после чего «навсегда» подставить их в решение и в таком виде записать ответ.

[timas-cs]

svv в сообщении #1269675 писал(а):

timas-cs в сообщении #1269668 писал(а):

только в $ c_1 $ нижнее это -1.

Не думаю.
Теперь Вам надо в решение подставить $t=0, x=x(0), y=y(0)$, из полученных уравнений найти $C_1, C_2$, после чего «навсегда» подставить их в решение и в таком виде записать ответ.

Вот этот момент не понятнен. Ведь решение это $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\,\quad= C_1 c_1 {e}^{5t}+C_2 c_2 {e}^{t}$ где $c_1, c_2$ это векторы. Если подставить, то получим
$\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}\,\quad= C_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\,\quad +C_2 \begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}\,\quad $ Подбираем $C_1, C_2$ и подставляем в решение?

[svv]

Да.

[timas-cs]

svv
Спасибо!

[timas-cs]

svv
А если t прямо в системе, то нужно решать также?
То есть для

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &x'=&x+y \\ &y'=&2x+2t \\ \end{array} \right.$$

$x(0)=0, y(0)=0$

Сначала решаем
$x'=x+y$
$y'=2x$
$x_1,x_2=2,-1$
Для $\lambda_1=2, \lambda_2=-1$
$c_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\,,\quad c_2=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\-1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\,\quad =C_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\,\quad C_2\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\-1\end{pmatrix}$
$C_1=C_2=0$?

[svv]

timas-cs в сообщении #1270107 писал(а):

А если t прямо в системе, то нужно решать также?

Нет. Сначала у Вас была «однородная система линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами», в матричном виде $\frac{d}{dt}\mathbf x(t)=A\mathbf x(t)$:
$\frac d{dt}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&3\\1&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$
Теперь — неоднородная, в матричном виде $\frac{d}{dt}\mathbf x(t)=A\mathbf x(t)+\mathbf f(t)$:
$\frac d{dt}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\2t\end{bmatrix}$
Общее решение неоднородной системы линейных ДУ равно сумме общего решения соответствующей однородной системы (которое Вы умеете находить) и частного решения неоднородной системы.

Стало быть, надо найти частное решение. При данной неоднородной части $\mathbf f(t)$, согласно теории, его следует искать в виде
$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_0+x_1t\\y_0+y_1t\end{bmatrix}$,
где $x_0, x_1, y_0, y_1$ — константы. Подставив это в систему, можно найти константы. Не забудьте, что это лишь частное решение.