Электростатическое поле внутри заряда

[g______d]

realeugene в сообщении #1269435 писал(а):

Иными словами, напряженность поля на самой сфере можно взять произвольной, она ни на что не влияет.

Ну не то что бы произвольной, всё-таки, половина -- это каноническое значение, получаемое прямым вычислением интеграла по сфере (который существует в абсолютно классическом смысле и называется "прямое значение потенциала двойного слоя"), см. здесь, например

https://ru.wikipedia.org/wiki/Ньютонов_потенциал#Потенциал_двойного_слоя

Объяснить "физически" это можно так: рассмотрим маленький элемент поверхности сферы и посчитаем его точечным зарядом. Тогда половина силовых линий от него пойдёт внутрь сферы (и через некоторое время из неё выйдет), половина сразу пойдёт наружу сферы и далее там и останется. Таким образом, суммарный поток от всех поверхностных зарядов через всю сферу будет равен половине потока через, например, чуть большую сферу. Из симметрии задачи понятно, чему будет равна напряжённость.

Та же идея, что и с вычислением интегралов через полувычет.

Разумеется, сфера предполагается идеальной с равномерным поверхностным распределением заряда. Плотность заряда является обобщенной функцией, но поле является абсолютно классической функцией (хоть и разрывной, но определённой во всех точках), потому что интегрирование повышает регулярность.

[fred1996]

BlueScientist
Когда мы рассуждаем об электростатике в рамках классической электродинамики, мы должны пренебречь квантовыми эффектами микромира. Обычно в задачах электростатики имеют дело с упрощенными моделями: точечный заряд, линейно-распределенный заряд, поверхностно-распределенный заряд, объемно-распределенный заряд. Первые три модели подразумевают границы применимости. То есть мы достаточно хорошо можем сосчитать поле только на некотором конечном расстоянии от этих расперделенных зарядов.
В частности мы можем говорить о поле справа и поле слева от поверхностно-распределенного заряда. Как будто речь идет о конечном расстоянии до поверхности. Но когда мы очень близко подходим к поверхности, модель перестает работать. Поэтом сама постановка - какое поле на поверхности, теряет физический вмысл в рамках классической электростатики. В которой принято считать, что поле имеет разрыв на границе, который считается напримар с помощью теоремы Гаусса.
Физический смысл могла бы иметь такая задача: Пусть у нас из сферы с равномерно распределенным зарядом вырезали очень маленький кружок. Тогда если мы двигаемся изнутри сферы наружу через это маленькое отверстие, скачка поля не будет. И на самом деле поле в центре этого кружка будет средним от поля внутри и снаружи целой сферы. Это справедливо вообще для любой достаточно гладкой поверхности.

[Metford]

g______d в сообщении #1269479 писал(а):

который существует в абсолютно классическом смысле и называется "прямое значение потенциала двойного слоя"

Так здесь-то не двойной слой, а простой.

Andrey_Kireew в сообщении #1269477 писал(а):

И ещё не факт, что преподаватель не разбирается в предмете, возможно, он таким путём преследует какие то вторичные цели.

Да хоть третичные - задача должна быть сформулирована чётко и корректно. Да и студенту необязательно сообщать преподавателю свои мысли о нём и его задачах

[realeugene]

g______d в сообщении #1269479 писал(а):

Объяснить "физически" это можно так: рассмотрим маленький элемент поверхности сферы и посчитаем его точечным зарядом.

Ну, допустим, и точечный заряд сам по себе не особо физичен. Я не против в принципе подобных математических построений, математика важна сама по себе, и, возможно, где-нибудь в квантах эта половинка внутри выльется в наблюдаемые эффекты. Но не в электростатике. А в электростатике все точечные заряды являются пределами каких-то непрерывных распределений заряда, и если ответ зависит от того, по какому именно пути мы берём этот предел, то этот ответ нефизичен.

Кстати, для простого слоя тот же интеграл даёт непрерывность снаружи, как следует из вашей же ссылки.

-- 27.11.2017, 13:44 --

fred1996 в сообщении #1269483 писал(а):

Тогда если мы двигаемся изнутри сферы наружу через это маленькое отверстие, скачка поля не будет. И на самом деле поле в центре этого кружка будет средним от поля внутри и снаружи целой сферы. Это справедливо вообще для любой достаточно гладкой поверхности.

А если это маленькое отверстие коническое? Вы ведь, неявно, предположили, что диаметр этого "маленького отверстия" гораздо больше толщины заряженной оболочки?

[Walker_XXI]

fred1996 в сообщении #1269483 писал(а):

Физический смысл могла бы иметь такая задача: Пусть у нас из сферы с равномерно распределенным зарядом вырезали очень маленький кружок. Тогда если мы двигаемся изнутри сферы наружу через это маленькое отверстие, скачка поля не будет. И на самом деле поле в центре этого кружка будет средним от поля внутри и снаружи целой сферы. Это справедливо вообще для любой достаточно гладкой поверхности.

Скорее всего это и имеется ввиду в физической задаче. Аналогичными способом - путём вырезания микрополости в диэлектрике - определяется вектор $\mathbf{D}$ электрической индукции в СИ (см., например, Л.А.Сена, "Единицы физичексих величин и их размерности", параграф 7.4, М.:1977).

[amon]

Возможно, у меня приступ паранойи, но как-то мне кажется, что ТС занимается обычным троллингом. Сначала человек поинтересовался полем $\delta$-образного потенциала в нуле:

BlueScientist в сообщении #1269341 писал(а):

Вопрос обстоит так, существует ли электростатическое поле в координатах исследуемого точечного заряда?

Потом, когда на это народ не повелся, и отправил его читать ЛЛ, задача внезапно изменилась

BlueScientist в сообщении #1269413 писал(а):

У меня есть задача, вывести формулу напряженности поля на поверхности полого равномерно заряженного шара.

Т.е. нас просят объяснить, как определяется $\theta$-функция в нуле. При этом ответ на вторую задачу такой же, как на первую: не существует в природе простого слоя. Всегда вблизи поверхности металла есть распределение заряда $\rho(r),$ плавно меняющееся на длине экранирования. Тогда из уравнения $\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho$ мгновенно получается $R^2E_r(R)=\int\limits_{0}^{R}r^2\rho(r)dr,$ и второй вопрос такой же бессмысленный, как и первый.

[g______d]

Metford в сообщении #1269542 писал(а):

Так здесь-то не двойной слой, а простой.

realeugene в сообщении #1269554 писал(а):

Кстати, для простого слоя тот же интеграл даёт непрерывность снаружи, как следует из вашей же ссылки.

Простой -- для потенциала, двойной -- для поля. Иначе откуда бы половинка получилась?

[realeugene]

g______d в сообщении #1269608 писал(а):

Простой -- для потенциала, двойной -- для поля.

У простого слоя заряда потенциал должен быть непрерывным, так как напряженность поля всюду конечна.

[g______d]

realeugene в сообщении #1269611 писал(а):

У простого слоя заряда потенциал должен быть непрерывным, так как напряженность поля всюду конечна.

Ещё раз -- я нигде не говорил про потенциал простого слоя. Электрическое поле является потенциалом двойного слоя (а электрический потенциал -- потенциалом простого слоя, и действительно непрерывен).

[realeugene]

g______d в сообщении #1269608 писал(а):

Иначе откуда бы половинка получилась?

Ну, это вам виднее. Про вывод половинки как точное значения интеграла я если и знал, то давно забыл, и по новой пока что не разбирался.

-- 27.11.2017, 16:50 --

g______d в сообщении #1269615 писал(а):

Ещё раз -- я нигде не говорил про потенциал простого слоя.

Ну, исходная задача всё-таки про слой электрического заряда и про напряженность создаваемого им электрического поля.

По вашей ссылке, на самом деле, потенциал простого слоя непрерывен, но вот потенциал двойного слоя в качестве напряженности поля мне совсем не нравится. У него хоть и половинка формально на границе, но снаружи области всюду нуль, а внутри сферы константа. Напряженность поля от простого сферического слоя заряда ведёт себя иначе.

[g______d]

realeugene в сообщении #1269616 писал(а):

Ну, исходная задача всё-таки про слой электрического заряда и про напряженность создаваемого им электрического поля.

Если у вас есть сфера, равномерно заряженная по поверхности, то электрический потенциал этой сферы будет потенциалом простого слоя по отношению к плотности заряда, а радиальная компонента электрического поля — потенциалом двойного слоя по отношению к той же плотности. Мне казалось, что я уже два раза повторил, но приношу извинения, если недостаточно чётко.

[realeugene]

g______d в сообщении #1269618 писал(а):

а радиальная компонента электрического поля — потенциалом двойного слоя по отношению к той же плотности

Снаружи сферы всюду нуль? Не верю.

[g______d]

realeugene в сообщении #1269619 писал(а):

Снаружи сферы всюду нуль? Не верю.

А, хорошо. По-видимому, только на сфере.

-- Пн, 27 ноя 2017 07:15:01 --

Я приношу извинения, поле в целом, конечно, не является потенциалом двойного слоя. Мне кажется, что вычисление с половинкой именно на сфере верное, но та же это половинка, что в потенциале двойного слоя, я проверю через некоторое время.

[g______d]

realeugene, Metford, спасибо, я должен был быть более аккуратным.

Если мы просто считаем электрическое поле на поверхности сферы по закону Кулона, то интеграл разойдётся, и никакого классического значения ему приписать нельзя.

Но если мы заранее предполагаем, что поле направлено радиально (из симметрии), то мы можем сразу считать проекцию на радиальную компоненту, и этот интеграл сойдётся и будет (на поверхности сферы) чем-то похож на интеграл, возникающий при вычислении потенциала двойного слоя.

Таким образом, совсем без регуляризации не обойтись, но она в каком-то смысле естественна, если иметь в виду симметрию задачи.