Электростатическое поле внутри заряда

[realeugene]

BlueScientist в сообщении #1269427 писал(а):

Именно. Такую сферу рассматривают, как частный случай теоремы Гаусса.

Так какова точная формулировка вашей задачи? Потому что, если строго, то такая сфера описывается сингулярной обобщённой функцией, и решение этой задачи, соответственно, тоже можно искать только в классе обобщённых функций, а обобщённые функции, вообще говоря, не имеют определённых значений в отдельных точках. Решение для напряженности поля для вашей сферы можно всё-таки будет представить локально интегрируемой, но разрывной на сфере функцией, так что, получить однозначность решения исходя из требования непрерывности решения на сфере, тоже, не получится. Иными словами, напряженность поля на самой сфере можно взять произвольной, она ни на что не влияет.

[Metford]

StaticZero в сообщении #1269421 писал(а):

Возьмите шаровой слой толщины $h$, внешняя поверхность имеет радиус $R$, внутренняя $R - h$, посчитайте напряжённость во всём пространстве, перейдите к пределу, когда точка стремится к внешней поверхности слоя снаружи ($r \to R+$) и изнутри ($r \to R-$), сравните пределы, напишите, что получилось. В общем, поработайте.

А результатом работы стать должно условие для скачка нормальной составляющей напряжённости поля на заряженной поверхности И получается оно совсем просто с помощью теоремы Гаусса. Впрочем, можно и поизвращаться, если есть охота и время.

В общем, стандартная задача. Изначально, откровенно говоря, были предположения куда хуже.

[BlueScientist]

Metford
Завидую я вам.. У вас всё просто. А у меня третьи сутки головоломания..

-- 27.11.2017, 00:41 --

realeugene
Теорема Гаусса рассматривает 3 случая со сферой.
1) Внутри сферы (принцип суперпозиции даёт 0)
2) Вне сферы
3) На сфере
Моя задача вывести уравнение третьего случая.

[Metford]

BlueScientist в сообщении #1269443 писал(а):

1) Внутри сферы (принцип суперпозиции даёт 0)

Т.е. теоремы Гаусса не хватает для этого случая?

Если речь идёт о применении теоремы Гаусса - а я так трактую Вашу фразу

BlueScientist в сообщении #1269427 писал(а):

Такую сферу рассматривают, как частный случай теоремы Гаусса.

то тогда можно спокойно посчитать поле внутри сферы - хотя что там считать! - поле снаружи сферы и констатировать, что на самой сфере происходит скачок напряжённости. В общем же случае произвольной поверхности, заряженной с некоторой поверхностной плотностью заряда, Вы можете взять цилиндр бесконечно малой высоты, основания которого находятся с разных сторон от поверхности, и применить к нему теорему Гаусса. Считая, что основания цилиндра достаточно малы и находятся бесконечно близко к поверхности, Вы найдёте скачок нормальной составляющей напряжённости на заряженной поверхности. Это много где написано. Первое, что приходит в голову - учебник Сивухина.

P.S. А второе, что приходит в голову - теория потенциала. Это уже нужно нужно в математическую литературу заглядывать - в учебники по теории уравнений математической физики, например. У меня под рукой с ходу оказалась книга Н. Гюнтера "Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики". Можете взглянуть на 6 параграф главы второй. Возможно, и это то, что Вам нужно.

[Andrey_Kireew]

Советую воспользоваться уравнением Пуассона:
$\operatorname{div}\overrightarrow E = \frac{q}{\varepsilon\varepsilon_0}$, $q$ - плотность заряда

Если толщина сферы пренебрежимо мала по сравнению с радиусом, то в пределах заряженной поверхности можно рассматривать одномерную задачу:
$\frac{\partial E}{\partial d}=\frac{q}{\varepsilon\varepsilon_0}$

или

$E=\frac{q}{\varepsilon\varepsilon_0} \cdot d$,

т.е. напряженность линейно возрастает с толщиной оболочки,
на внутренней границе заряженной оболочки $E=0$,
на внешней границе
$E=\frac{q}{\varepsilon\varepsilon_0} \cdot d= \frac{Q}{\varepsilon\varepsilon_0 S}$,
где $Q$ - полный заряд оболочки, $S$ - площадь её поверхности.

Дальше, напряженность изменяется по закону Кулона.

[Metford]

Andrey_Kireew в сообщении #1269450 писал(а):

Советую воспользоваться уравнением Пуассона:
$\operatorname{div}E=-\varepsilon\varepsilon_0\cdot q$, $q$ - плотность заряда

Я не говорю о том, что вектора не хватает. Уравнение записано неверно.

[realeugene]

BlueScientist в сообщении #1269443 писал(а):

Теорема Гаусса рассматривает 3 случая со сферой.

Теорема гаусса не зависит от этих случаев, и не зависит от того, сфера у вас или кубик, например. Она остаётся одним из уравнений системы уравнений Максвелла. От этих случаев зависит класс функций, в котором ищется решение уравнений. Но так как решение должно соответствовать условиям задачи, чем страньше условия - тем страньше может оказаться решение. Заряд на сфере невозможно описать обычной функцией, соответственно, и решение обладает странностями, вроде, несуществования значения функции на сфере. Но я вас спрашиваю про точные условия вашей задачи, потому что, возможно, ваш уровень не предполагает знакомства с предметом "уравнения математической физики". А формулировка вашей задачи предполагает. Так что, возможно, вы вашу задачу сформулировали своими словами сложнее, чем вам это нужно.

[Andrey_Kireew]

Память подводит - поправил.

[BlueScientist]

realeugene
Задача такова:
Пусть, мы имеем положительно заряженную полую сферу с радиусом $r_0$
Мы знаем, что напряженность поля, при $r > r_0$ равна $q/(4\cdot\pi\cdot e_0\cdot r^2) = q/(S\cdot e_0)$, а напряженность поля при $r < r_0$ равна $0$.
Доказать или опровергнуть утверждение, что напряженность поля при $r = r_0$ равна $q/(8\cdot\pi\cdot e_0\cdot r^2) = q/(2\cdot S\cdot e_0)$.

Я стал на путь рассмотрения столь малого элемента поверхности, что-бы мы могли пренебречь его кривизной. Тогда, возможно рассмотрение уже не сферы, а двух бесконечных, паралельных и одноименно заряженных плоскостей, где между ними напряженность будет $0$, извне - $q/(S\cdot e_0)$, а на них - $q/(2\cdot S\cdot e_0)$.
Только вот, последнее, пока-месть подтверждается исключительно моими догадками...

[realeugene]

BlueScientist в сообщении #1269468 писал(а):

Доказать или опровергнуть утверждение, что напряженность поля при $r = r_0$ равна $q/(8\cdot\pi\cdot e_0\cdot r^2) = q/(2\cdot S\cdot e_0)$.

Мне это условие кажется некорректным. Это невозможно ни доказать, ни опровергнуть. На сфере существует скачек напряженности, но и только.

Возможно, в задаче подразумевается, что вы рассмотрите сумму Фурье и получите для неё предел на сфере $1/2$ скачка. Только этот предел зависит от способа решения задачи и, на мой взгляд, физического смысла не имеет.

В общем, подумайте, что за курс вы изучаете и какие именно решения от вас могут ожидать в рамках этого курса?

[Andrey_Kireew]

Что Вы имеете в виду говоря на них? В среднем слое?
Если так, то верно. На внутренней границе 0, на внешней $Q/S\varepsilon_0$, а в среднем слое - ровно половина от этого.

Можно использовать и теорему Гаусса - поток вектора напряженности, через сферическую поверхность, разделяющую заряженную сферическую оболочку на 2 равные части равен половине заряда, заключённого в этой оболочке, т.е. как у Вас.

[realeugene]

Andrey_Kireew в сообщении #1269470 писал(а):

разделяющую заряженную сферическую оболочку на 2 равные части

Вот только откуда взялась сама идея деления оболочки нулевой толщины на две равные части? Подгонкой под ответ?

[Andrey_Kireew]

Нет не подгонкой, тут вам не детский сад и не школа. В прошлом посте я писал, если Вы не заметили, напряженность поля в заряженной сферической оболочке меняется по линейному закону от 0 до $Q/\varepsilon_0 S $. От того, что толщина оболочки стремиться к нулю, напряженность в ней постоянной не становится.
Строго отвечая на Ваш вопрос - напряженность на ней находится в диапазоне $ E \in (0; Q/\varepsilon_0) S $. Вот и выбирайте любое значение из этого диапазона. Я предложил выбрать по центру. Выберете 25% толщины от внутренней границы - получите $ \frac{Q}{4\varepsilon_0 S} $. От толщины оболочки Вы ни куда не денетесь.

Проблема в постановке задачи. В таком виде как у Вас решение не определено однозначно. Зависимость напряженности от расстояния, в точке, соответствующей заряженной сфере, терпит неустранимый разрыв первого рода.

Вот и определитесь, что Вы имеете в виду, говоря напряженность на ней?

[Metford]

Andrey_Kireew в сообщении #1269473 писал(а):

Я предложил выбрать по центру.

Учитывая Ваше же высказывание

Andrey_Kireew в сообщении #1269473 писал(а):

В таком виде как у Вас решение не определено однозначно.

лучше было вообще никакого выбора не делать.

Задача, мягко говоря, странная - это чтобы не сказать грубее. Либо нужно давать сфере толщину и решать по-человечески задачу в сферическом слое (тут Гаусс в помощь - в чистом виде), либо прекращать заниматься ерундой. Это не в Ваш адрес, BlueScientist, а в адрес того, кто Вам дал эту задачу.

[Andrey_Kireew]

Metford Будучи студентом, было бы недальновидно сообщать такое преподавателю :) Помнится, в своё время, и не такой "ерундой" заниматься приходилось. И ещё не факт, что преподаватель не разбирается в предмете, возможно, он таким путём преследует какие то вторичные цели.