Сходимость двойного ряда

[StaticZero]

Изучаю сходимость ряда

$$ \sum \limits_{n=1}^\infty \sum \limits_{m=1}^\infty \dfrac{n \sqrt m}{n^2 + m^2} \sin nx \ \sin my \ \cos nz, \qquad 0 \leqslant x, y, z \leqslant \pi. $$

Использую представление

$$ \sum \limits_{m = 1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt m} \sin my \sum \limits_{n = 1}^\infty \dfrac{nm}{n^2 + m^2} \cos nz \sin nx. $$

Сам ряд по $n$ сходится при любом $m$, что следует из признака Дирихле и признака сравнения. Однако, чему равен предел его суммы $S(m)$ при $m \to \infty$ и как $S(m)$ себя ведёт по $m$ неясно (хотелось бы, чтобы $S(m)/\sqrt m$ монотонно убывала с какого-нибудь $m$, тогда работает признак Дирихле). Других мыслей в голову не пришло. (Ряд, очевидно, сходится не более, чем условно и не является знакопостоянным, поэтому просто так тут не отделаться.)

Ожидается, что при $z = x$ ряд должен разойтись, и это тоже хорошо бы доказать, но сначала бы со сходимостью разобраться.

[StaticZero]

StaticZero в сообщении #1269396 писал(а):

Ожидается, что при $z = x$ ряд должен разойтись, и это тоже хорошо бы доказать, но сначала бы со сходимостью разобраться.

Нет, не так. Это другой случай, где нужно исследовать ряд

$$ \sum \limits_{n = 1}^\infty \sum \limits_{m = 1}^\infty \dfrac{nm}{n^2 + m^2} \sin (nx) \cos (nx), \qquad 0 < x < \pi $$

и показать, что он расходится.

[svv]

StaticZero в сообщении #1269396 писал(а):

Ряд, очевидно, сходится не более, чем условно

Что такое условная сходимость кратного ряда? Единого определения частичных сумм для кратных рядов нет, и выбор того или иного определения частичной суммы может влиять на сходимость так же, как перестановка членов в обычном условно сходящемся ряде.

[StaticZero]

svv в сообщении #1269422 писал(а):

условная сходимость

Э. Не знаю. Наверное, это если ряд сходится, но с модулями - нет.

-- 27.11.2017, 00:53 --

Вообще, этот ряд сверху получился, как эквивалентный в смысле сходимости из ряда Фурье-Бесселя. Может быть, для Фурье-Бесселя есть какие-то известные вещи, которые позволяют оценивать сходимость?

[DeBill]

svv
И как же нам с такими рядами работать, блин?
А физики то - метод Фурье запустят, и все дела, ответ готов. Да еще и численно сосчитают...
Нда, если использовать аналогию с несобственным интегралом (Римана), то там его сходимость равносильна абсолютной (потому как к "бесконечности" тогда разрешено всеми способами "стремиться" ) .
Но тогда (если нет абсолютной сходимости), то и переход к повторному суммированию, и изменение порядка (что я и хотел предложить) некорректны....
А что, он правда абсолютно не сходится?
Это можно попробовать доказать известным трюком $\sin^2x \leqslant \left\lvert\sin x\right\rvert $. Только надо будет еще доказать "условную" сходимость исходного (точнее, такого же, но с удвоенными аргументами), при каком либо способе вычисления суммы. Тогда: более перспективным мне кажется суммирование в другом порядке; от трех переменных надо бы перейти к двум - преобразуя произведение синуса на косинус в сумму. Но проблемы с монотонностью остаются, однако...

[g______d]

Ну он в смысле обобщённых функций, очевидно, сходится. Надо сначала вычислить, к чему, а потом уже что-то оценивать.

[DeBill]

StaticZero
А, а я хотел предложить поработать с ним - как с обобщенными функциями....Свести к двум переменным; взять Лаплас, и пару неопределенных интегралов, решить дифур, и посмотреть на гладкость решений.... И придем мы, видимо, к исходной задаче

[StaticZero]

DeBill в сообщении #1269428 писал(а):

А что, он правда абсолютно не сходится?

Ну коэффициент перед рядом $\dfrac{n \sqrt m}{n^2 + m^2}$ по $n$ похож на $\dfrac 1 n$, а по $m$ — на $\dfrac 1 {m \sqrt m}$.

[DeBill]

g______d
А там тоже ряд нехороший $\sum\limits_{m=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{m}} \cos my$

[StaticZero]

Или у меня какая-то кривая логика? В самом деле, ряд

$$ \sum \limits_{m=1}^\infty \dfrac{n \sqrt m}{n^2 + m^2} \sin my $$

сходится абсолютно при всех $n$, так как при $m \to \infty$ он по модулю похож на $1/m\sqrt m$, а ряд из таких штук это $\zeta \left(\dfrac{3}{2} \right)$. А с $n$-ками что делать?

[DeBill]

В смысле, надо сумму его найти. Тогда через дельты и тэты, глядишь, и выразили бы...

[g______d]

DeBill в сообщении #1269434 писал(а):

А там тоже ряд нехороший $\sum\limits_{m=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{m}} \cos my$

Ну, для сходимости в $\mathcal D'(\mathbb T)$ (функции периодические, так что мы на торе, можно по трем переменным тоже, если хочется) достаточно, чтобы коэффициенты не росли экспоненциально (точнее, росли не быстрее какого-то полинома), так что в этом смысле к чему-то да сойдётся, и предел будет единственным в этом классе, поэтому ни к чему другому всё равно не сможет.

[DeBill]

StaticZero в сообщении #1269436 писал(а):

сходится абсолютно при всех $n$, так

Ну да. Но если мы хотим установить таки сходимость исходного (или доказывать его несходимость абсолютную), то - как Вы и отмечали, потребуется монотонность

StaticZero в сообщении #1269436 писал(а):

ряд

$$ \sum \limits_{m=1}^\infty \dfrac{n \sqrt m}{n^2 + m^2} \sin my $$

сходится

этих сумм по $n$. А я что-то сомневаюсь, что это легко/что это правда/что это нужно...

[svv]

StaticZero
Наверное, уже неактуально, но всё-таки приведу пример из Фихтенгольца.

$$\begin{array}{rrrrr} 1&-1&1&-1&\ldots\\ -1&1&-1&1&\ldots\\ \frac 1 2&-\frac 1 2&\frac 1 2&-\frac 1 2&\ldots\\ -\frac 1 2&\frac 1 2&-\frac 1 2&\frac 1 2&\ldots\\ \frac 1 3&-\frac 1 3&\frac 1 3&-\frac 1 3&\ldots\\ -\frac 1 3&\frac 1 3&-\frac 1 3&\frac 1 3&\ldots\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\end{array}$$

Ряд из элементов любого столбца сходится условно, и сумма равна 0. Ряд из элементов любой строки расходится. Соответственно, суммируя сначала так, а потом эдак, получим сходимость, а суммируя наоборот — не получим.

[StaticZero]

DeBill в сообщении #1269440 писал(а):

этих сумм

А точно этих, или можно оценок вида

$$ \sum \limits_m \dfrac{n \sqrt m}{n^2 + m^2}? $$

Или хрен редьки не особо слаще?