Линейное пространство - норма, метрика

[NRX]

Здравствуйте. Есть следующая задача:
Если есть норма на линейном пространстве, следует ли из этого, что существует метрика. И наоборот

И так. Пусть задано линейное нормированное пространство K. Тогда мы можем определить метрику, как норму разности двух элементов из пространства K
($\forall x,y \in K$ по свойству линейного пространства $(-1)\cdot y \in K$ то $(x+(-y)) \in K$ тогда $d(x,y)= || x -y||$)
Проверим, является ли такая функция метрикой:
1) $x-y=z$;
$||z|| \geq 0$ по определению нормы
$ z = 0$ тогда и только тогда, когда $x = y$
2) $||x-y||=||(-1)(y-x)||=|-1| \cdot ||(y-x)|| = ||y-x||$ - является симметричный отношением
3)\begin{equation*} \begin{cases} ||x-z|| \leq ||x|| + ||z|| \\ ||y-z|| \leq ||y|| + ||z|| \end{cases} \end{equation*} сложим неравенства

$||x-z||+||y-z|| \leq ||x||+||y|| + 2||z||;$

$||x-z||+||(-1)(z-y)|| \leq ||x||+||y|| + 2||z||;$

$||x-z||+||z-y|| \leq ||x||+||y|| + 2||z||;$

$||x - z + z - y|| \leq ||x-z||+||z-y|| \leq ||x||+||y|| + 2||z||;$

$||x - y|| \leq ||x-z||+||(-1)(y - z) ||;$

$||x - y|| \leq ||x-z||+||y - z||;$
Так же выполняется неравенство треугольника
Поскольку, восполняются все аксиомы метрики, тогда $d(x,y) = ||x-y||$ является метрикой. Это означает то, что если на линейном пространстве задана норма, то существует метрика.

A вот как доказать или опровергнуть обратное. что-то в голову не приходит. И правильно я, вообще, выполнил доказательство существования метрики на линейном нормированном пространстве?

[arseniiv]

NRX в сообщении #1269334 писал(а):

A вот как доказать или опровергнуть обратное. что-то в голову не приходит.

Дискретную метрику знаете?

[Dan B-Yallay]

arseniiv в сообщении #1269346 писал(а):

Дискретную метрику знаете?

ТС про линейное пространство:

NRX в сообщении #1269334 писал(а):

Если есть норма на линейном пространстве

[arseniiv]

А чего, метрика на линейном пространстве должна как-то сочетаться с линейной структурой? Норма-то да, у неё и аксиома имеется.

NRX в сообщении #1269334 писал(а):

И правильно я, вообще, выполнил доказательство существования метрики на линейном нормированном пространстве?

Вроде бы всё нужное написано, но примерно столько же лишнего и мало связности изложения. К этому могут придраться (я бы возмутился).

UPD. Притом, кстати, в одном случае дискретная метрика будет индуцирована нормой. Можно оставить упражнением для ТС, в каком.

[Dan B-Yallay]

arseniiv в сообщении #1269352 писал(а):

А чего, метрика на линейном пространстве должна как-то сочетаться с линейной структурой?

А это хороший вопрос, я об этом не подумал. Пусть ТС прояснит.

-- Вс ноя 26, 2017 12:28:29 --

NRX в сообщении #1269334 писал(а):

A вот как доказать или опровергнуть обратное. что-то в голову не приходит.

Ну раз у Вас линейное пространство, то должен быть и нулевой элемент. И если задана метрика на пространстве, естественно было бы попробовать рассмотреть в качестве нормы произвольного элемента -- метрику между ним и нулевым.

(Оффтоп)

в том числе и случай дискретной метрики - для кругозору

[Someone]

arseniiv в сообщении #1269352 писал(а):

А чего, метрика на линейном пространстве должна как-то сочетаться с линейной структурой?

По хорошему — да. Как минимум, сложение векторов и умножение вектора на число должны быть непрерывными отображениями $+\colon K\times K\to K$ и $\cdot\colon\mathbb R\times K\to K$. Естественно, вместо $\mathbb R$ может быть другое поле. Интересно также, если метрика инвариантная,то есть, $\rho(x+a,y+a)=\rho(x,y)$. И другие интересные свойства можно придумать. Но непрерывность — это святое.

[arseniiv]

Ой, непрерывность как-то забыл. Почему-то думал только о том, чтобы метрика уважала линейность.

[NRX]

Dan B-Yallay в сообщении #1269354 писал(а):

И если задана метрика на пространстве, естественно было бы попробовать рассмотреть в качестве нормы произвольного элемента -- метрику между ним и нулевым.

Ага, такое возникло предположение, уже после того, как создал тему. Но вот мне не понятно, как доказать для общего случая

1) $||x|| = d(0, x) = 0 \to x = 0$ по свойствам метрики

2) Пусть нам задано двумерное пространство векторов, и метрику определим следующим образом
$d(t, k) = \sqrt{(t_x-k_x)^2 + (t_y-k_y)^2}$
тогда норма в таком пространстве может быть задана следующим образом:
$||t|| = d(t, 0) = \sqrt{t_x^2 + t_y^2}$
Проверим второе свойство нормы:
$d(\alpha t, \alpha k) = \sqrt{(\alpha(t_x-k_x))^2 + (\alpha(t_y-k_y))^2} = \sqrt{\alpha ^2 ((t_x-k_x))^2 + \alpha ^2 ((t_y-k_y))^2} = |\alpha | \sqrt{(t_x-k_x)^2 + (t_y-k_y)^2}$
$||\alpha t|| = d(0, \alpha t) = |\alpha |d(0, t) = |\alpha | \cdot ||t||$

Пусть нам задано линейное пространство функций , и метрику определим следующим образом $ d(f_1(x), f_2(x)) = |\max(f_1(x))-\max(f_2(x))|$
Норму зададим так:
$||f_1(x)|| = d(0, f_1(x)) = \max(f_1(x))$
$||\alpha \cdot f_1(x)|| = d(0,\alpha \cdot f_1(x)) = \max(\alpha \cdot f_1(x)) = \alpha \cdot\max(f_1(x))$

Вроде бы, данное свойство выполняется...

3) И неравенства треугольника так же выполняется.
длина одной стороны треугольника, не может быть больше суммы двух других сторон треугольника
$\xymatrix{\ar[rd]_X\ar[rr]_Z^{}&&{}\ar[ld]_Y^{}\\&}$

Вот как это записать в общем виде...

[worm2]

NRX, видно, что вторая часть для вас сложновата.
Давайте я всё-таки подскажу.
Существуют метрики, которым невозможно сопоставить ни одну норму.
И ещё совет. Проще, наверное, будет рассмотреть конечномерное пространство. Двумерное, например. Или может быть даже одномерное.

Если так и не получится... Вероятно, проблема в том, что непонятно, как вообще доказывать невозможность. Не думаю, что как-то испорчу вас ещё одной подсказкой
Рассмотрите квадрат и подумайте, какое соотношение будет (следовать из аксиом нормы) между нормами четырёх вершин этого квадрата. Если вы построите метрику, для которой это соотношение не выполнится, то дело в шляпе.
Забудьте. Это я перепутал со случаем, когда в нормированном пространстве невозможно ввести скалярное произведение, порождающее норму

[NRX]

worm2 в сообщении #1269398 писал(а):

Существуют метрики, которым невозможно сопоставить ни одну норму

А какие способы существуют сопоставление метрики с нормой?

arseniiv в сообщении #1269352 писал(а):

А чего, метрика на линейном пространстве должна как-то сочетаться с линейной структурой?

Можете пожалуйста объяснить, что понимается под утверждением: "Метрика должна сочетаться с линейной структурой" - как это?

Пусть нам задано линейное метрическое пространство $K$ с метрикой
$d(x,y) = \begin{equation*} \begin{cases} 1, x \neq y \\ 0, x = y \end{cases}\end{equation*}$
Попробуем свести ее к норме:
Зададим следующую функцию: $||x|| = d(0,x)$ проверим аксиомы нормы для этой функции:
1) $||x|| = d(0, x) \geqslant 0$; $||x|| = 0$, только при $x = 0$ так как $d(x,y)$ - метрика
2)$||\alpha x|| = d(0,\alpha x) = 1$ при условии что $\alpha x \neq 0$ Вторая аксиома нормы не выполняется ($||\alpha x|| \neq |\alpha| \cdot ||x||$)
Функция $||x||$ не является нормой.

Есть ли другой способ свести метрику к норме? или это будет достаточно для того, чтобы доказать утверждение, что если есть линейное метрическое пространство, то это не значит, что на нем есть норма.

[worm2]

NRX в сообщении #1269729 писал(а):

Есть ли другой способ свести метрику к норме?

Нет. Поскольку ваша норма должна порождать метрику, то с необходимостью должно быть $||x||=||x-0||=d(0,x)$, ну и дальше как вы расписали.

[NRX]

Спасибо всем большое за помощь!

[arseniiv]

NRX в сообщении #1269729 писал(а):

Можете пожалуйста объяснить, что понимается под утверждением: "Метрика должна сочетаться с линейной структурой" - как это?

Например, можно взять свойства метрики, порождённой нормой, и потребовать их от произвольной другой. Сам способ индуцирования метрики из нормы даст нам $d(\mathbf x+\mathbf z, \mathbf y+\mathbf z) = d(\mathbf x, \mathbf y)$, упомянутое выше Someone. Аксиома нормы $\lVert \alpha\mathbf v\rVert = |\alpha|\lVert\mathbf v\rVert$ тогда даст $d(\mathbf0,\alpha\mathbf v) = |\alpha|d(\mathbf0,\mathbf v)$. Если потребовать от метрики выполнения обеих этих вещей, можно доказать, что $\mathbf v\mapsto d(\mathbf0,\mathbf v)$ действительно норма.