Четыре попарно различных числа

[Ktina]

При каких натуральных $n$ из чисел

$$n,\quad n+1,\quad n+2,\quad\dots ,\quad 3n$$

можно выбрать четыре попарно различных числа $a, b, c, d$, для которых справедливо равенство $ab=cd$?

[gris]

Примеры:
$[2,6]: 2\cdot6=3\cdot4$
$[3,9]: 3\cdot8=4\cdot6$
$[4,12]: 4\cdot12=6\cdot8$
$[5,15]: 5\cdot12=6\cdot10$
Пока числа маленькие, всё получается.
Теорема 1: Если для $n$ получается, то и для $kn$ получается.
То есть осталось исследовать для простых.
Теорема 2: Для всех простых получается.
Докажем от противного. Предположим, что существует простое $p$, для которого не получается. Возьмём числа $p,2p+2,p+1,2p$. Легко показать, что они попарно различны и входят в нужный интервал. $p\cdot(2p+2)=(p+1)\cdot2p$. Противоречие.
Мне кажется, что условие задачи можно немного усложнить. То есть искать четвёрки в интервале $[n,2n]$. Их есть, например: $18\cdot36=24\cdot27$.
И даже ещё можно усилить.
Для любого $r>1$ и $N$ существует бесконечно много $n$ таких, что существует $N$ различных нужных четвёрок на отрезке $[n,rn]$