Существует ли метрика в которой отображение явл сжимающим

[zoo]

Пусть $f:B\to B$ -- непрерывное в стандартной топологии $\mathbb{R}^m$ отображение $m-$мерного замкнутого шара $B$ в себя.
Предположим, что $f$ имеет неподвижную точку в $B$ и эта неподвижная точка единственна.
Существует ли метрика в этом шаре, в которой отображение $f$ было бы сжатием?
И что бы эта метрика задавала топологию эквивалентную исходной.
Хотя бы для $m=1$ можно разобраться?

[AGu]

Если $f:[-1,1]\to[-1,1]$ определяется формулой $f(x)=-x$, то никакая метрика $d$ не поможет, так как $d\bigl(f(-1),f(1)\bigr)=d(-1,1)$.

[zoo]

AGu писал(а):

Если $f:[-1,1]\to[-1,1]$ определяется формулой $f(x)=-x$, то никакая метрика $d$ не поможет, так как $d\bigl(f(-1),f(1)\bigr)=d(-1,1)$.

понял, а если строго внутрь шара: $f(B)\cap \partial B=\emptyset$?

[AGu]

zoo писал(а):

а если строго внутрь шара: $f(B)\cap \partial B=\emptyset$?

Это условие тоже не спасает. Вот модификация предыдущего примера:

$$ f(x) = \begin{cases} \tfrac12: & x\in\bigl[-1,-\tfrac12\bigr);\\ -x: & x\in\bigl[-\tfrac12,\tfrac12\bigr];\\ -\tfrac12: & x\in\bigl(\tfrac12,1\bigr]. \end{cases} $$

Вообще, $f$ не может бысть сжимающим ни для какой метрики, если $f$ циклически переставляет какое-либо конечное множество из двух или более точек. $\big($В последнем примере подходит $\bigl\{-\tfrac12,\tfrac12\bigr\}$.$\big)$

Как известно, если $f:B\to B$ -- сжимающее отображение, то для любой точки $x\in B$ орбита $f^\infty(x):=\bigl(x,f(x),f(f(x)),\dots\bigr)$ сходится к неподвижной точке $\bar x$ отображения $f$. В частности, если орбита $f^\infty(x)$ не стабилизируется (т.е. $\bar x$ не является ее членом), то члены $f^\infty(x)$ попарно различны.

[zoo]

спасибо