84-значные числа

[Ktina]

Рассмотрим все 84-значные числа, в записи которых все цифры от 2 до 8 встречаются по 12 раз. Докажите, что ни одно из таких чисел не делится на другое.

[sa233091]

Каждое такое число имеет остаток 2 при делении на 3. Тогда частное имеет остаток 1 при делении на 3. Значит, оно равно 1, 4, 7. Случай с 7 невозможен, т.к. произведение будет иметь больше знаков, чем надо. Случай с 1 тривиален. Остаётся случай с 4. Тогда первая цифра множителя 2 (иначе произведение имеет слишком много знаков). Вторая цифра множителя тоже 2 (иначе произведение имеет слишком много знаков или в нем появляется цифра 9 на первом месте)
Теперь двойки кончились, а значит возникает переход через разряд, но тогда либо произведение имеет слишком много цифр, либо в нем появляется девятка на первом или втором местах.

[lim0n]

Но сумма цифр таких чисел равна 420, следовательно на 3 они делятся нацело.

[sa233091]

Да, действительно. Но можно так:
Остаток таких чисел при делении на 9 будет 6. Тогда остаток частного 1, 4, 7
Далее как уже было написано.