Вопрос про систему координат и базис в геометрии

[tohaf]

Речь о плоскости.
Вектор - это направленный отрезок, имеет модуль, направление. Или - координаты.
Один и тот же вектор может раскладываться по базису (базисным векторам). Пара векторов может образовывать базис, если эта пара векторов линейно независима друг от друга. Пара векторов, соот-но, будет характеризоваться модулями и углом между ними.
Я запутался. Разве нужно задавать систему координат, если уже задан базис? Какой в этом смысл, если задав базис, уже имеется достаточно условий для работы с векторами? Я наверняка неправ. В чём?

[Pphantom]

tohaf в сообщении #1267257 писал(а):

Я запутался. Разве нужно задавать систему координат, если уже задан базис? Какой в этом смысл, если задав базис, уже имеется достаточно условий для работы с векторами?

Это может быть удобно по каким-то причинам. Например (боюсь, правда, что я сейчас объясню неизвестное через непонятное ), у Вас есть материальная точка, движущаяся по какой-то криволинейной траектории на плоскости, заданной обычными декартовыми координатами как функциями времени. С одной стороны, у нее в некоторый момент есть вектор ускорения, который также можно задать в той же системе координат, с другой - этот вектор ускорения удобно разложить на две компоненты: одну, коллинеарную скорости в тот же момент, и другую, перпендикулярную скорости.

[Walker_XXI]

tohaf в сообщении #1267257 писал(а):

Я запутался. Разве нужно задавать систему координат, если уже задан базис? Какой в этом смысл, если задав базис, уже имеется достаточно условий для работы с векторами?

Поразмыслите, например, над декартовой и полярной системами координат на плоскости, в чём разница, какие там базисные вектора.

[tohaf]

Walker_XXI в сообщении #1267260 писал(а):

Поразмыслите, например, над декартовой и полярной системами координат на плоскости, в чём разница, какие там базисные вектора.

"Какие там базисные векторы" где? В системе координат? Разве не какие угодно?
Я имею ввиду, что не понимаю вас.
У меня может быть задана декартова система координат из линий перпендикулярных, единичного отрезка и начала координат.
И в этой системе я могу представлять как декартов базис, так и аффиный, разве нет?
Точно так же в полярных координатах я могу задавать любой базис, нет?

[arseniiv]

Мне кажется, ТС не очень-то давно закончил рассматривать школьную геометрию и в лучшем случае декартовы системы координат, ещё не разобрался с тем, что такое система координат в общем случае, а ему говорят об этом. По-моему, это даёт путаницу.

tohaf
Системы координат сопоставляют наборы чисел точкам. Базис же относится к векторному пространству, так что одного базиса мало. Есть класс систем координат на аффинном пространстве (плоскость или трёхмерное пространство из школьной геометрии к таким относятся), которые задаются базисом связанного линейного пространства и точкой отсчёта. Вот без этой точки нельзя будет находить координаты других точек.

Когда мы слезаем с аффинных пространств и начинаем рассматривать более интересные вещи — гладкие многообразия (дальше просто «многообразия»), определение вектора, как оно было в аффинном пространстве, ломается. Вместо этого рассматривают касательные пространства, для каждой точки многообразия свои. (На аффинное так тоже можно смотреть, но там все эти касательные пространства можно отождествить с пространством всевозможных параллельных переносов.) Теперь если на кусочке $A$ многообразия есть система координат, она задаёт базисы на всех касательных пространствах точек $A$ — векторы, направленные в сторону увеличения каждой из координат по отдельности. Как раз про эти базисы тут и в другой вашей теме и упоминали. Можно назадавать базисы в касательных пространствах абы как, но больше смысла, если они согласованы с какой-то системой координат.

-- Пн ноя 20, 2017 20:58:41 --

Другими способами системы координат и базисы, можно сказать, не связаны. Вот только или базис как кусок аффинной системы координат, или базис в касательном пространстве, согласованный с какой-то системой координат в общем случае. Первый можно рассматривать как вид второго.

[provincialka]

tohaf в сообщении #1267257 писал(а):

Какой в этом смысл, если задав базис, уже имеется достаточно условий для работы с векторами?

А вы знаете, что базис можно менять, и есть закономерности (формулы) для перехода от одного базиса к другому? Так вот, декартова система координат -- это ещё один базис (ну, с учетом замечаний arseniiv про аффинное пространство)
"Больше базисов, хороших и разных!"
Декартов, в частности, хорош тем, что в нем красиво записывается скалярное произведение (и, соответственно, длина и угол между векторами).

[amon]

Давайте ещё и я человека запутаю.
tohaf,
Есть плоскость и есть вектора заданные на этой плоскости. Координаты точек на плоскости можно задать миллионом способов. Можно из некоторой фиксированной точки провести вектор и считать его координаты в некотором фиксированном базисе координатами точки на плоскости, можно взять три точки, нарисовать треугольник и считать координатами точки расстояния до двух сторон этого треугольника, можно нарисовать прямоуголную сетку и считать координатами номер ближайшего узла сетки и расстояния до двух ближайших узлов. Это я к тому, что сопоставление вектора точке плоскости лишь один из способов задания координат точек на плоскости.

Теперь на плоскость (стол) Вы пролили чай. Он растекается по столу, и Вы желаете знать к чему все это приведет. Тогда Вам надо знать скорость чая в каждой точке стола. То есть в этом случае на плоскости заданы вектора, зависящие от координат точек на столе (векторное поле). Что бы с этими векторами общаться, хорошо бы задать какой-никакой базис. Этот базис может совпасть с тем, которым Вы пользовались при задании координат на столе, может быть другой, но фиксированный раз и навсегда, а может быть свой в каждой точке. Естественное желание использовать первый базис всегда и везде можно подорвать вопросом: "А что Вы будете делать, если Вы облили чаем глобус с нарисованной на нем координатной сеткой?". Как в этом случае задать поле скоростей чая?