Разложение тангенса в цепную дробь

[kthxbye]

Известно представление тангенса в виде цепной дроби:

$\tg1=[1;1,1,3,1,5,1,...,(2n-1),1,(2n+1),1,...]$

Опытным путём установил, что:

$\tg\frac{1}{k}=[0;(k-1),1,(3k-2),1,(5k-2),1,...,(k(2n-1)-2),1,(k(2n+1)-2),1,...]$

где $k$ - натуральное, $k>1$. Каким образом все это можно доказать?

[grizzly]

Разложение в непрерывную дробь тангенса использовал Ламберт четверть тысячелетия тому. Он таким образом доказал иррациональность $\tg(r)$ для рациональных $r.$ Думаю, это не особо сложно.

[Andrey A]

grizzly в сообщении #1266439 писал(а):

Думаю, это не особо сложно.

Если теорема Лагранжа была доказана четверть тысячелетия тому назад (ему было порядка 30-ти лет), то не сложно: дробь с подобным "переменным периодом" гарантированно бесконечна, значит иррациональность. Но нужно еще доказать подмеченную закономерность, мне из подобных встречалось только разложение числа $e=2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,...$ тоже без доказательства. А разложение тригонометрических функций нагуглить сразу не удалось. kthxbye, у Вас чутьё. На счет $\tg\dfrac{1}{k}$ есть уверенность?

[g______d]

kthxbye в сообщении #1266419 писал(а):

Каким образом все это можно доказать?

По-видимому, grizzly имел в виду, что есть такая формула

$$ \tg z=\frac{z}{1-\frac{z^2}{3-\frac{z^2}{5-\frac{z^2}{\ldots}}}} $$

в которую можно подставить $z=1/k$, см.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gauss%2 ... ries_0F1_2

[grizzly]

g______d
Спасибо! Да, я об этом, но подходящий пруф-линк найти за выделенное время не смог. Подумал, что для ТС будет достаточно информации, что мир об этом уже знает :)

kthxbye нашёл годную и нетривиальную закономерность и мне было бы любопытно в этом случае узнать каким способом.