Монета на гладком столе

[pogulyat_vyshel]

Монету ставят вертикально на ребро на совершенно гладкий горизонтальный стол. Понятно, что можно уронить монету так, что она шлепнится плошмя. Будем считать, что в процессе движения контакт монеты со столом не теряется. Теперь предположим, что в начальный момент времени угловая скорость монеты имела вертикальную составляющую. Может ли монета рано или поздно лечь на стол плошмя?

[fred1996]

Я в точности не могу выписать все уравнения, поскольку не знаю, как связать угловую вертикальную скорость вращения волчка со скоростью его прецессии.
Но сдается мне, что можно из энегретических соображений выписать уравнение типа:

$\frac18 mR^2\omega_0^2 + mgR(1-\cos\alpha) = \frac18 \frac{mR^2\omega_0^2}{2-\cos^2\alpha} + \frac58 mV^2 + \frac12 I_1\Omega^2$

Здесь $\omega_0$ начальная угловая скорость, $\Omega$ - угловая скорость прецессии, $I_1$ - соответствующий ей момент инерции. V - вертикальная скорость ЦМ, однозначно связанная с угловой скоростью нутации и $\alpha$ - угол отклонения монетки от вертикали. При каком-то заданном $\alpha$ можно сосчитать $\Omega$, которая и обращает в ноль скорость $V$. То есть дальше монетка падать не будет.
Это такие предварительные наметки почти качественного характера. Звыняйте если что не так. Я с этими вращениями волчков слабо знаком.

[fred1996]

Пока чисто на интуитивном уровне кажется, что если начальная угловая скорость монеты достаточно велика, то монета не упадет плашмя. А если эта начальная кинетическая энергия вращения гораздо меньше гравитационной потенциальной энергии монеты относительно уровня стола, то тогда упадет.

[pogulyat_vyshel]

В задаче имеется несколько первых интегралов, с их помощью она редуцируется до системы с одной степенью свободы. Дальше надо смотреть на эффективный потенциал