Задача на синхронные колебания

[amon]

realeugene в сообщении #1265583 писал(а):

Любые непрерывные функции от мало меняющейся величины сами обязательно изменяются мало.

Ну, это Вы погорячились. Однако в контексте данной задачи мала должна быть не только функция, но и её производная (скорость), и тогда Вы правы.

-- 15.11.2017, 20:24 --

fred1996 в сообщении #1183537 писал(а):

При определенном соотношении масс доски и грузика система может совершать малые гармонические колебания. Найти частоту этих колебаний и отношение масс грузика и доски

Я, к стати, так и не понял, причём в этой задаче соотношение масс. Вроде как при любом есть неустойчивое решение линеаризованной системы.

[realeugene]

amon в сообщении #1265592 писал(а):

Ну, это Вы погорячились.

нет, не погорячился. Одной лишь непрерывности достаточно, чтобы изменение функции стремилось к нулю при стремлении к нулю аргумента. А существование и ограниченность производной в точке гарантирует, что к этому нулю функция стремится не медленнее аргумента. Но вы, видимо, подразумеваете ещё и дифференциальные операторы. Про них согласен. Но не понимаю, к чему это тут.

amon в сообщении #1265592 писал(а):

Вроде как при любом есть неустойчивое решение линеаризованной системы.

К тому, что решение этой задачи не подразумевает "обычную линеаризацию" в окрестности стационарной точки. Колебания груза на всю ширину доски не есть колебания в окрестности стационарной точки.

[amon]

realeugene в сообщении #1265609 писал(а):

Колебания груза на всю ширину доски не есть колебания в окрестности стационарной точки.

А к этому - мой вопрос про массу. Если я слегка смещу груз и доску "в противофазе", то колебания будут малыми и неустойчивыми (если повезёт), и результат от соотношения масс не зависит. Если же в конце доски и под доской будут "отражающие поверхности", и все удары считаются упругими, то это уже другая задача, в которой возможен автоколебательный режим, но система при этом станет существенно нелинейной. В последнем варианте, видимо, будет и зависимость от соотношения масс.

[fred1996]

realeugene
В данной задаче на самом деле есть одна переменная и одна амплитуда, которые меняются мало. Это угол. Все остальное подстраивается под это движение.
Вы можете просто заменить доску на кривую поверхность, которая совпадает с двумерной траекторией грузика. Тогда грузик станет просто математическим маятником с радиусом, обратно пропорциональным угловой амплитуде. И, соответственно, угловые колебания такого математического маятника будут в пределах того самого малого угла. Таким образом с этой точки зрения колебания все равно малые. Вот вам пример того, что заменой обобщенной координаты можно казалось бы немалые колебания превратить в малые.

amon
Если дорешать задачку до конца, получится, что колебания могут быть малыми гармоническими только при соотношении $\theta_0^2=3\frac mM$

[amon]

fred1996 в сообщении #1265620 писал(а):

Если дорешать задачку до конца, получится, что колебания могут быть малыми гармоническими только при соотношении $\theta_0^2=3\frac mM$

IMHO, колебания малыми гармоническими быть не могут, поскольку линеаризация дает их строгую неустойчивость.

[fred1996]

amon
При устремлении $\theta_0$ к нулю. И соответствующем подборе массы грузика колебания, хоть и неустойчивы, но могут продолжаться достаточно долго почти по синусоидальному закону. В этих допущениях они вполне себе малые гармоические.
В конце концов практически любые колебания у нас не совсем гармонические. Они все нелинейны, везде есть трение. Мы как бы допускаем некую погрешность в решении. То же можно отнести и к ограничению колебаний во времени. Пусть система совершит 100 колебаний, а потом свалится. Первые 50 колебаний вполне себе будут гармоническими в пределах и других допущений.

[realeugene]

amon в сообщении #1265621 писал(а):

IMHO, колебания малыми гармоническими быть не могут, поскольку линеаризация дает их строгую неустойчивость.

Нет, это у системы есть неустойчивая мода. С положительным действительным характеристическим числом. Колебания - это другая мода. С чисто мнимым характеристическим числом, если нет диссипации энергии. На самом деле, там два сопряженных мнимых числа, так как можно выбирать произвольную начальную фазу. И есть ещё экспоненциально затухающая мода. Её найти чуть сложнее, но она тривиально связана с экспоненциально разгоняющейся.

-- 15.11.2017, 22:20 --

fred1996 в сообщении #1265620 писал(а):

Таким образом с этой точки зрения колебания все равно малые.

Могу сказать одно: на мой взгляд, это - очень странная и нестандартная точка зрения.

[amon]

fred1996 в сообщении #1265626 писал(а):

В конце концов практически любые колебания у нас не совсем гармонические. Они все нелинейны, везде есть трение.

В "обычных" случаях есть существенная разница - точка стационарности устойчива, поэтому ни ангармонизм, ни трение систему далеко от неё не утащат.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1265645 писал(а):

азница - точка стационарности устойчива, поэтому ни ангармонизм, ни трение систему далеко от неё не утащат.

в многомерных гамильтоновых системах далеко может утащить диффузия Арнольда

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1265647 писал(а):

в многомерных гамильтоновых системах далеко может утащить диффузия Арнольда

Да, про неё я забыл. Утешу себя тем, что, вроде, в двумерных системах этот зверь не встречается ;)