Эллипс как коническое сечение

[fred1996]

Metford
А кстати эксцентриситент для гиперболы находится практически без расчетов. Просто из асимптотического поведения гиперболы на бесконечности. Можно ли экстраполировать этот результат на параболу, а потом гиперболу? Ну в смысле для параболы мы его и так знаем.
Можно ли считать параболу эллипсом, вытянутым на бесконечность? Грубо говоря у нас выражения ведь все аналитические. Можно ли воспользоваться этой аналитичностью?

-- 19.10.2017, 02:00 --

wrest
Парабола получается, когда $\varphi=\varphi_0$

Тогда $e=\frac{\sin\varphi}{\sin\varphi_0}$

[wrest]

(fred1996)

fred1996 в сообщении #1256888 писал(а):

Парабола получается, когда $\varphi=\varphi_0$

Тогда $e=\frac{\sin\varphi}{\sin\varphi_0}$

Я честно сказать не понял смысла этого вашего сообщения.
Если $\varphi=\varphi_0$, то $f(\varphi)/f(\varphi_0)\equiv 1$ хоть для $f(x)=\sin x$ хоть для других существующих при $x=\varphi=\varphi_0$ и ненулевых $f(x)$
Но кажется, теперь вы перепутали углы. $\varphi$ в определении ТС это угол между перпендикулярной к оси конуса плоскостью и секущей плоскостью. Но может я и не прав, и вы имели в виду сказать что-то другое.

[Metford]

fred1996
Я с самого начала говорил именно о подходе к параболе как к предельному случаю эллипса. И данный метод получения конических сечений делает это только нагляднее. Ничего нового в этом нет: проективная геометрия давно уже так смотрит на вещи.
Ваше выражение для эксцентриситета совпадает с моим. Элегантная простота.

[wrest]

Metford в сообщении #1256935 писал(а):

Ваше выражение для эксцентриситета совпадает с моим. Элегантная простота.

А... так вон вы чего хотели. А я, наоборот, нижний синус через параметры конуса добывал.
А так-то форула с синусами прямо в Википедии ("Коническое сечение") есть.
А про пределы вы хотели вот это:

Цитата:

Из этой формулы видно, что, пересекая данный конус плоскостью, можно получить эллипс с любым эксцентриситетом, параболу, а гиперболу можно получить лишь такую, эксцентриситет которой не превышает $ \dfrac {1}{\sin \varphi_0 }$. Это максимальное значение достигается при сечении данного конуса плоскостью, параллельной его оси.

?

[Metford]

wrest
Я ещё не обленился так, чтобы википедию читать как серьёзный источник. Захотелось посчитать - и посчитал.

Ладно, с эксцентриситетом всё. С фокусами-то будем разбираться? Или тоже удовольствуетесь википедией?

[wrest]

Metford в сообщении #1256943 писал(а):

С фокусами-то будем разбираться?

Чтобы их найти вроде не хватает данных (ведь про секущую плоскость мы знаем только угол).

Metford в сообщении #1256943 писал(а):

Или тоже удовольствуетесь википедией?

смотря какова ваша задумка насчет фокусов

[Metford]

Задумка уже озвучивалась: проследить поведение фокусов в пределе, когда эллипс переходит в параболу. Впрочем, это уже более методическая часть задачи.

[ewert]

wrest в сообщении #1256945 писал(а):

Чтобы их найти вроде не хватает данных (ведь про секущую плоскость мы знаем только угол).

Мы знаем два угла -- при вершине и для секущей, т.е. форма соответствующего треугольника в осевом сечении известна. А фокус, как известно -- это точка касания секущей и вписанной окружности. Т.е. найти относительное положение фокуса можно, но лень.