Почему метод разделения переменных Фурье работает?

[realeugene]

Давно хотел спросить, но стеснялся. Наверное, я забыл что-то важное (если когда-то знал). Напомните, пожалуйста, если не сложно, без слишком глубокого погружения в доказательства теорем.

Допустим, у нас есть линейное дифференциальное уравнение в частных производных, типичное для матфизики. Заданное в ограниченной области. Например, то же двумерное волновое уравнение. Мы, пользуясь некоторым алгоритмом решения подобных задач, ищем решения в виде произведения функций от отдельных переменных. Получаем счётное множество решений в виде произведений одномерных решений с какими-то согласующимися коэффициентами. Но откуда следует, что мы при этом получили в нужном нам смысле полную систему решений для пространства всех функций, которые нас могут интересовать?

[Someone]

Г. П. Толстов. Ряды Фурье. Москва, "Наука", 1980.
Попробуйте посмотреть главу X. Вдруг поможет…

[Pphantom]

Трудно сказать, насколько это глубокое погружение... посмотрите теорему Стеклова, это, собственно, и есть обоснование применимости метода Фурье.

[realeugene]

Pphantom в сообщении #1265183 писал(а):

посмотрите теорему Стеклова, это, собственно, и есть обоснование применимости метода Фурье.

Спасибо, хороший лоскуток. Но есть два вопроса:
1. Почему полученные после разделения переменных решения в виде произведений одномерных решений обязательно образуют базис рассматриваемого Гильбертового пространства?
2. Теорема Стеклова относится к дважды непрерывно дифференцируемым функциям, если Википедия не врёт. Как дальше это всё беспроблемно переносится на обобщённые функции, необходимые для представления фундаментальных решений рассматриваемых уравнений?

Или сама фраза "рассматриваемое гильбертово пространство" некорректна?

[pogulyat_vyshel]

realeugene в сообщении #1265172 писал(а):

Заданное в ограниченной области. Например, то же двумерное волновое уравнение. Мы, пользуясь некоторым алгоритмом решения подобных задач, ищем решения в виде произведения функций от отдельных переменных. Получаем счётное множество решений в виде произведений одномерных решений с какими-то согласующимися коэффициентами. Но откуда следует, что мы при этом получили в нужном нам смысле полную систему решений для пространства всех функций, которые нас могут интересовать?

На самом деле мы раскладываем решение по собственным функциям некоторого оператора. Как правило самосопряженного оператора на некотором гильбертовом пространстве. Ну а дальше есть общие теоремы. Например, если $D$ -- ограниченная область в $\mathbb{R}^m$ с достаточно приличной границей, то в пространстве $H^1_0(D)=\{u\in H^1(D)\mid \mathrm{Tr}\,u=0\}$ собственные функции оператора Лапласа образуют ортогональный базис

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1265209 писал(а):

На самом деле мы раскладываем решение по собственным функциям некоторого оператора. Как правило самосопряженного оператора на некотором гильбертовом пространстве. Ну а дальше есть общие теоремы.

Спасибо, я тоже про это слышал. Не подскажите хороший учебник с формулировками этих теорем?

[pogulyat_vyshel]

Ладыженская Краевые задачи математической физики

-- 14.11.2017, 14:58 --

Владимиров Уравнения мат. физики

[realeugene]

Нашел у себя на полке древний доставшийся в наследство учебник Соболева "Уравнения математической физики". В нём оказался параграф, который так и называется "Обоснование метода Фурье для решения краевых задач математической физики". Правда, в этом учебнике не видно упоминаний про обобщённые функции как решения. Зато можно открыть на любой странице и, в принципе, понятно, что автор рассказывает. Хороший учебник, но староват?

[g______d]

realeugene в сообщении #1265201 писал(а):

1. Почему полученные после разделения переменных решения в виде произведений одномерных решений обязательно образуют базис рассматриваемого Гильбертового пространства?

Если область является произведением двух областей/многообразий $M=M_1\times M_2$, то $L^2(M)=L^2(M_1)\otimes L^2(M_2)$, а дальше это общее свойство базисов в тензорном произведении. Понятно, что чтобы это работало, оператор должен иметь вид $\Delta=\Delta_1\otimes I_2+I_1\otimes \Delta_2$ (что имеет место во всех случаях, когда переменные разделяются. Например, шар — это произведение сферы на отрезок с метрикой $r$ в какой-то степени, прямоугольник — это произведение отрезков).

Стандартный источник именно по сабжу — Миллер, «симметрия и разделение переменных» (подозреваю, что с гильбертовыми пространствами надо быть уже знакомым).

[fred1996]

realeugene

(Оффтоп)

Забавно. В течени жизни этот вопрос встает передо мной примерно раз в 10 лет.
Я его рефрешу, а потом опять забываю обоснование. Вот что значит отсутствие практики.

[realeugene]

g______d в сообщении #1265277 писал(а):

Если область является произведением двух областей/многообразий $M=M_1\times M_2$, то $L^2(M)=L^2(M_1)\otimes L^2(M_2)$, а дальше это общее свойство базисов в тензорном произведении. Понятно, что чтобы это работало, оператор должен иметь вид $\Delta=\Delta_1\otimes I_2+I_1\otimes \Delta_2$ (что имеет место во всех случаях, когда переменные разделяются.

Хм... Действительно, всё тривиально. Спасибо.

[pogulyat_vyshel]

g______d в сообщении #1265277 писал(а):

Например, шар — это произведение сферы на отрезок с метрикой $r$ в какой-то степени, прямоугольник — это произведение отрезков).

Шар это не произведение сферы на отрезок, а $r$ это не метрика в шаре

g______d в сообщении #1265277 писал(а):

Если область является произведением двух областей/многообразий $M=M_1\times M_2$, то $L^2(M)=L^2(M_1)\otimes L^2(M_2)$

доказательство этого утверждения приведите пожалуйста, а я напоню определение тензорного произведения:

[g______d]

Для гильбертовых пространств по умолчанию предполагается другое определение.

https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_pr ... ert_spaces

или Рид-Саймон $\S$ II.4 (в первом томе).

-- Вт, 14 ноя 2017 09:23:39 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1265306 писал(а):

Шар это не произведение сферы на отрезок, а $r$ это не метрика в шаре

В смысле что $\Delta_1$ будет оператором Лапласа на окружности, а $\Delta_2$ — оператором Лапласа—Бельтрами на отрезке с весом $r$ в какой-то степени, мне сейчас лень это выписывать (могу позже), ноль можно выкинуть, заменив его условием регулярности на одном из концов отрезка, тогда будет настоящее произведение.

[realeugene]

В учебнике Владимирова, пожалуй, о тензорном произведении гильбертовых пространств и о полноте произведения базисных функций упомянуто наиболее просто. И есть пример решения задачи на собственные значения оператора Лапласа в круге. Правда, без упоминания про оператор Лапласа—Бельтрами.

[g______d]

По поводу диска меня правильно поправили, оператор не имеет структуры $\Delta_1\otimes I_2+I_2\otimes \Delta_2$ и там немного более сложная конструкция.