Использование свойств действительных чисел

[Ivan_B]

Из Зорича(Пример 20, стр. 157) "...Остается заметить, что при $x \geq 1$ $(1+\frac{1}{[x]+1})^{[x]} < (1+\frac{1}{x})^x < (1+\frac{1}{[x]})^{[x]+1}$..." Утверждение не доказано, но в главе о свойствах действительных чисел заложена основа для его доказательства. Для меня не очевидно как доказать это утверждение, все что я могу сделать "в уме" - это рассуждение "знаменатель первой дроби положительный и самый большой, значит дробь самая маленькая, значит первое выражение в скобках самое маленькое среди других выражений в скобках, оно не меньше одного и его возводят в степень, которая больше одного, но меньше других степеней, значит результат самый маленький и т.д." Должны ли при виде такого выражения в голове всплывать аксиомы и их следствия из которых оно следует? Как такие выражения видит знающий человек? Как такое выражение должен воспринимать человек на моем этапе обучения?

[Lia]

Это не самая удачная идея - свалить все проблемы в одну кучу, без какой-либо их систематизации. Думаю, стоит под каждую более-менее крупную заводить отдельную тему.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.
Приведите попытки решения там, где это в принципе возможно.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ewert]

Ivan_B в сообщении #1263325 писал(а):

Должны ли при виде такого выражения в голове всплывать аксиомы и их следствия из которых оно следует?

Не должны, иначе выйдет не доказательство, а сороконожка. Тем более что сам Зорич адресовал свой учебник отнюдь не стерильным математикам. Другое дело, что оформил он доказательство не совсем удачно; надо было отталкиваться от понятия предела в смысле Гейне. Примерно так.

Пусть $x_k\to+\infty$; обозначим $n_k=[x_k]$, тогда и $n_k\to\infty$ и, следовательно, $\left(1+\frac1{n_k}\right)^{n_k}\to e$ (переход к этому утверждению от стандартного $\left(1+\frac1{n}\right)^{n}\to e$ -- одна из базовых теорем для пределов последовательностей). Остаётся заметить, что

$$n_k\leqslant x_k<n_k+1,$$

откуда

$$1+\frac1{n_k+1}<1+\frac1{x_k}\leqslant1+\frac1{n_k},$$

откуда

$$\left(1+\frac1{n_k+1}\right)^{n_k}\leqslant\left(1+\frac1{x_k}\right)^{x_k}\leqslant\left(1+\frac1{n_k}\right)^{n_k+1}.$$

Откуда практически мгновенно $\left(1+\frac1{x_k}\right)^{x_k}\to e$ по теореме о двух милиционерах, ч.т.д.

-- Ср ноя 08, 2017 15:53:19 --

А, да, я, видимо, не на тот вопрос отвечал. Насчёт аксиом. Они тут на данный момент уже глубоко позади, а вот что подразумевается -- так это наличие понятия степени с произвольным вещественным показателем и монотонность этой степени. Это -- ни разу не аксиома; это -- довольно серьёзная теорема (вытекающая, естественно, из аксиом, и вытекающая довольно долго). На данный момент эта теорема, разумеется, уже должна быть (лень проверять, не зевнул ли её Зорич).

[ewert]

Проверил. Зорич тут достаточно честен: в том же параграфе 2 той же главы III есть пример 10, где достаточно аккуратно вводится понятие показательной функции. Занудно вводится, но тут без того или иного занудства в любом случае не обойтись.

Правда, про монотонности он, кажется, ничего в этом месте не говорит, считая это очевидным. На самом деле это вовсе не очевидно изначально -- это надо доказывать. Но тут проявляется некий общий методологический дефект его учебника.

Зорич совершенно правильно ориентируется на то, что читатели уже имеют какие-то интуитивные представления об элементарных функциях и что его задача -- лишь придать этим представлениям более точный математический смысл. Однако он совершенно не прав, проделывая эту работу до введения понятия непрерывности. Между тем какая разница, в какой именно момент наводить марафет, если интуитивные представления уже есть. Излишняя же спешка заметно усложняет изложение.

В частности, понятие корня у него слишком глубоко закопано -- где-то в задачках к параграфу 2 главы II. Задачкой это делать нехорошо потому, что, с одной стороны, это вопрос довольно принципиальный; с другой -- потому, что он на тот момент совсем не тривиален; с третьей -- потому, что существование корня является уже вполне тривиальным следствием последующей теоремы о функции, обратной к непрерывной монотонной. И аналогично: монотонность показательной функции с рациональных показателей тупо распространяется на иррациональные благодаря непрерывности; до введения же понятия непрерывности это -- некоторая морока, и неудивительно, что Зорич с этим не связывается.

И, кстати, в том же примере 20: текст про логарифмы раздут совершенно необоснованно ровно потому, что на тот момент у него ещё нет теоремы об обратной функции.

[Ivan_B]

ewert в сообщении #1263432 писал(а):

Насчёт аксиом. Они тут на данный момент уже глубоко позади, а вот что подразумевается -- так это наличие понятия степени с произвольным вещественным показателем и монотонность этой степени.

Спасибо! Это то, что мне было нужно.