Вопрос по топологии

[function]

Здравствуйте! Не могу понять, почему метрическое пространство со счётной базой регулярно. Рассмотрим точку $x\in X$ и замкнутое множество $A\subset X$. Это множество можно покрыть окрестностями $U_{\alpha}$, каждой из которых будет, в силу хаусдорфовости, соответствовать окрестность $V_{\alpha}\ni x$. Из данного покрытия в силу теоремы Линделёфа можно выделить счётное подпокрытие, дальше --- непонятно, что делать (скорее всего это тупик). Другой путь --- доказать, что в любой окрестности $U$, для любой точки $x$ внутри неё существует её подокрестность $V\subset U$, такая, что $\mathrm{Cl}(V)\subset U$. В этом случае вообще неясно, причём здесь счётность.

[demolishka]

Рассмотрим $\varepsilon$-окрестности $\mathcal{O}_{\varepsilon}(x)$ и $\mathcal{O}_{\varepsilon}(A)$ точки $x$ и замкнутого множества $A$. Предположим, что их пересечение не пусто при всех малых $\varepsilon>0$...

function в сообщении #1262482 писал(а):

со счётной базой

Счетная база к регулярности метрического пространства никакого отношения не имеет. Более того, всякое метрическое пространство --- нормально.

[function]

Существует такая окрестность $U$ точки $x$, что она не пересекает данное замкнутое множество $A$, поскольку в противном случае она попадет в замыкание множества, т. е. будет принадлежать этому множеству. Теперь для каждой точки $A$ строим окрестность, не пересекающую $U$, объединяем их и получаем то, что нужно.

[demolishka]

function, у Вас даже лучше и проще (чисто топологические рассуждения). А я, как любитель чисто метрических выкладок, рассуждал так

demolishka в сообщении #1262512 писал(а):

Рассмотрим $\varepsilon$-окрестности $\mathcal{O}_{\varepsilon}(x)$ и $\mathcal{O}_{\varepsilon}(A)$ точки $x$ и замкнутого множества $A$. Предположим, что их пересечение не пусто при всех малых $\varepsilon>0$...

Тогда найдется последовательность $x_{\varepsilon} \in \mathcal{O}_{\varepsilon}(x) \cap \mathcal{O}_{\varepsilon}(A)$. Отсюда следует, что $x_{\varepsilon} \to x$ и $\varrho(x_{\varepsilon},A)<\varepsilon$. Переходя к пределу в последнем, получаем $\varrho(x,A)=0$ и, а значит, в силу замкнутости $A$, $x \in A$.

Это конечно сложнее, но в некотором смысле информативнее и иногда (например, в теории динамических систем) бывает полезным знать тот факт, что разделяющие окрестности данных объектов могут быть выбраны как их $\varepsilon$-окрестности.

[Someone]

function в сообщении #1262523 писал(а):

Теперь для каждой точки $A$ строим окрестность, не пересекающую $U$

Вот тут подлянка и сидит.С какой стати такая окрестность обязательно найдётся?

Поскольку Вам нужно доказывать регулярность именно метрического пространства, от употребления метрики в той или иной форме никак отвертеться не удастся.