Феноменологический вывод уравнения Блэка – Шоулза

[H14sk]

Феноменологический вывод уравнения Блэка – Шоулза ( Шольца, Скулза )
Простой наглядный вывод уравнения. Обобщения уравнения Блэка – Шоулза.

Отказ от ответственности :) не претендую на первенство в этом выводе, более того, уточняю - полагаю, что изначально уравнение как-то так и было получено, но позднее, из некоторых вполне целесообразных соображений проведено усложнение вывода.
Цель топика: обсудить, имхо, вполне простой и интуитивно понятный вывод уБШ и, кроме того, отдельно обсудить специфический вид уравнений, похожих на обычные УРЧП, о которых мне не удалось найти теорию.
Пусть тема будет в дополнение к топику Black-Scholes topic22926.html
Уточню еще раз, предмет исключительно вывод уБШ наглядным способом, а не "премия типа нобелевской", кроме этого интересен попутно метод сведения к УРЧП, тут, скорее "не баг а фича".

Для начала выпишем само уравнение БШ: ${V_t} = rV - rS{V_S} - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}{S^2}{V_{SS}}$
Посмотрим на размерности величин, входящих в уравнение:
1. $[{V_t}] = S/T$
2. ${{[r] = \frac{{\Delta S}}{S}} \mathord{\left/ {\vphantom {{[r] = \frac{{\Delta S}}{S}} T}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} T} = 1/T = > [{V_t}] = S/T$
3. $[rS{V_s}] = S/T$
4. $[\frac{{{\sigma ^2}}}{2}S{V_s}] = [{\sigma ^2}]S = > [{\sigma ^2}] = 1/T$ - это можно проверить по тому, как волатильность считают на практике.
В смысле размерности, уБШ вполне корректно, что, имхо, нужно проверять для иных моделей.
Уточню, что существует путаница в литературе по объекту волатильности, в мБШ волатильность не акции (или иного базового актива), а доходности акции, что, кстати, наводит на мысль – что-то не так с мБШ.
В принципе, V может иметь по уБШ любую размерность, которая определяется только постановкой задачи, в мБШ V – страховое возмещение отклонений спот S, поэтому размерности S и V совпадают.
Примечание: логарифм любой величины не имеет размерности или размерность ноль.

Как известно, решают уБШ сведением сначала к уравнению с постоянными коэффициентами заменой: $\lambda : = \ln (S)$ => ${V_t} + (r - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}){V_\lambda } = rV - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}{V_{\lambda \lambda }}$, затем сведением к уравнению теплопроводности: ${W_t} = \frac{{{\sigma ^2}}}{2}{W_{\lambda \lambda }}$
Обратим внимание па суть величины $\lambda : = \ln (S)$.
Если S – спот цена акции (или иного базового актива), то доходность: $\frac{{\frac{{\Delta S}}{{\Delta t}}}}{S}$, мгновенная доходность: $\frac{{\frac{{dS}}{{dt}}}}{S}$, если же берем первообразную: $\int {\frac{{dS}}{S}} = \ln (S)$ - обзовем интегральная или полная доходность.

То есть, уБШ после замены $\lambda : = \ln (S)$ => ${V_t} + (r - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}){V_\lambda } = rV - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}{V_{\lambda \lambda }}$ выражено в полных доходностях.
(надо бы пояснить целесообразность выражения в доходностях)

Теперь, собственно, феноменологический вывод

Изначально построим следующее уравнение: $\frac{{dV}}{{dt}} = rV - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}{V_{xx}}$, имхо, это уравнение игры.
Где-то я это уравнение видел, но забыл источник, чтобы сослаться (кто знает - подскажите). Поэтому обосную, как смогу.
Поясним на примере следующей игры: кидаем кубик, за значение грани выплата по числу точек на грани от 1 до 6.
Вопрос, какова цена игры? Ответ: цена игры = матожидание = 3,5.
Теперь такая игра: стоит высокая береза, с не падают маленькие листочки, ветра нет. Выплата за падение листочка вне круга некоторого радиуса, скажем, радиуса-страйк. Какова цена игры? Сколько можно/нужно заплатить за участие в этой игре, чтобы игра была статистически безобидной? Рискнейтральной?

1. Дискретный плоский случай – треугольник Паскаля – биноминальное распределение
2. Непрерывный процесс, для плоской задачи с «березой»: $V(t + \tau ,x) = \frac{1}{2}(V(t,x - h) + V(t,x + h))$ - в каждый момент времени равновероятно движение влево или вправо на h.
$V + \tau {V_t} + \frac{{{\tau ^2}}}{2}{V_{\tau \tau }}$ = $\frac{1}{2}((V - h{V_x} + \frac{{{h^2}}}{2}{V_{xx}} - \frac{{{h^3}}}{6}{V_{xxx}}...) + (V + h{V_x} + \frac{{{h^2}}}{2}{V_{xx}} + \frac{{{h^3}}}{6}{V_{xxx}}...)) = \frac{{{h^2}}}{2}{V_{xx}}$
=> ${V_t} = \frac{{{h^2}}}{{2\tau }}{V_{xx}}$. Все нечетные справа сокращаются, четные начиная с 4-го порядка отбрасываем.
$\tau {V_t} + \frac{{{\tau ^2}}}{2}{V_{\tau \tau }}$ = $\frac{1}{2}((\frac{{{h^2}}}{2}{V_{xx}} - \frac{{{h^3}}}{6}{V_{xxx}} + \frac{{{h^4}}}{{4!}}{V_{xxxx}} - ...) + (\frac{{{h^2}}}{2}{V_{xx}} + \frac{{{h^3}}}{6}{V_{xxx}} + \frac{{{h^4}}}{{4!}}{V_{xxxx}} + ...))$
${V_t} + \frac{\tau }{2}{V_{\tau \tau }} = \frac{{{h^2}}}{{2\tau }}{V_{xx}} + \frac{{{h^4}}}{{4!\tau }}{V_{xxxx}}$ , выберем $\tau \approx \frac{{{h^2}}}{2}$ : $\frac{{{h^2}}}{{2\tau }}$ конечная, при $\tau ,h \to 0$

Можно в дроби $\frac{{{h^2}}}{{2\tau }}$ домножить и числитель, и знаменатель на некую компенсирующую переменную $\zeta $, такую, что $\zeta \tau \equiv 1$, а ${h^2}\zeta : = {\sigma ^2}$, поэтому далее будем писать $\frac{{{\sigma ^2}}}{2}$ без $\tau $, для схожести с уБШ.
Поскольку игра платная, то полагая альтернативу безрисковый депозит прирост стоимости: ${V_t} = rV$

Складывая два фактора, получаем: ${V_t} = rV - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}{V_{xx}}$
rV со знаком плюс, поскольку повышает стоимость игры, ибо альтернатива – депозит.
$\frac{{{\sigma ^2}}}{2}{V_{xx}}$ со знаком минус, неопределенность выигрыша снижается, суть игры - ставка на неопределенность.
По-хорошему, вроде, надо бы: ${V_t} = a(t,x)V - b(t,x){V_{xx}}$, то есть, с произвольными коэффициентами, но «скажем волшебные слова», а у нас «модель такая», и положим, коэффициенты – произвольные постоянные, тогда выбирая крайние положения, когда или игра с платой (безрисковая ставка) ноль, или дисперсия/волатильность ноль, получим нужные коэффициенты.
В принятой игре метры переводятся в платеж, то есть, можно принять переменную S: ${V_t} = rV - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}{V_{ss}}$

Обозначу «игру с березой», как первый уровень, поскольку переменные по построению независимы.
Второй уровень, переменная берется, например, цена спот S некоего актива, то есть, в отличие от расстояния от березы, S меняется по времени. Возможно, достаточно было для модели опционов взять этот уровень, но, вполне вероятно, мешает факт, что цена акции не может быть меньше ноля, хотя можно было представить через цену фирмы, поскольку цена фирмы за счет долга может быть отрицательной.
Третий уровень, который приводит к уБШ, берем переменной доходность актива.
Теперь, учтем, что суть опциона – страховка, например, на случай убытков от превышения ценой спот актива некоего уровня, то есть, вероятность большой выплаты определяется и текущей ценой спот и временем до окончания контракта, не только цена опциона/страховки зависит от времени, но и цена спот базового актива. И доходность (как и цена базового актива) принципиально зависит от времени, не являясь независимой, и изначально нужно брать полную производную цены опциона по времени.
$\frac{d}{{dt}}V(t,\lambda (t)) = {V_t} + {\lambda _t}{V_\lambda } = rV - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}{V_{\lambda \lambda }}$
По виду, это и есть уБШ, достаточно взять ${\lambda _t} = r - {{{\sigma ^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\sigma ^2}} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}$, например пояснив, что доходность удовлетворяет геометрическому броуновскому блужданию https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Brownian_motion
Другое дело, это уравнение получено по построению как непривычное «УРЧП с зависимыми переменными», частная переменная зависит от времени.
Что сие? Как решать?

Мне не удалось найти теорию «УРЧП с зависимыми переменными», вероятно, нужно обозвать как недоопределенная система ОДУ, по аналогии, скажем, с уравнением Монжа (не Монжа-Ампера)…
По поводу классификации вопрос открытый, какие будут предложения?

Что касается, как решать именно такой вид «недоопределенной системы ОДУ», то достаточно раскрыть $\frac{d}{{dt}}V(t,\lambda (t)) = {V_t} + {\lambda _t}{V_\lambda }$ = (чему-то, без ${V_t}$ и ${V_\lambda }$ ), после решать как обычное УРЧП, приняв, что ${\lambda _t}$ произвольная неизвестная или известная функция, но, не подставляя $\lambda $ в производных.
Просьба обсуждение решения и типа уравнения вести в топике topic109803.html

Соответственно, систему можно доопределить выбором функции доходности $\lambda $, например, ссылкой на геометрическое броуновское блуждание.
Конечно, интереснее построить ограничение как-то иначе, скажем, из условия безрисковости портфеля из акций и опционов.
$\frac{{d\Pi }}{{dt}} = r\Pi = r(S{V_s} - V) = r({V_\lambda } - V)$ или, возможно, более обще: $\frac{{d\Pi }}{{dt}} = r\Pi = r(g(t,S(t))S(t) - V(t,S(t)))$

Как бонус, можем объявить, что ${V_t} + {\lambda _t}{V_\lambda } = rV - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}{V_{\lambda \lambda }}$ обобщение уБШ, где можно накладывать интересные ограничения на ${\lambda _t}$, лишь бы сохранялись размерность и зависимость только от времени.
Хотя, по идее, можно приравнять ${\lambda _t}$ любую комбинацию $f(t,\lambda ,{\lambda _t},{\lambda _{tt}},...)$ и даже, наверное, с V и производными, нужно только сначала решить появившееся дополнительное уравнение ${\lambda _t} = f(...)$.
(Здесь, кста, имхо, возникают интересные вопросы по привычной теории УРЧП)

Приведу для полноты «частное» решение для ${\lambda _t}: = {f_t}(!t)$: $V = {e^{rt}}\frac{{\exp \{ \frac{{{{(\lambda - f(!t))}^2}}}{{4at}}\} }}{{\sqrt {4\pi at} }}$, $\frac{{{\sigma ^2}}}{2}: = a$, символ "!" в смысле "только".

(Полянин А.Д. и др. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса)
Для любителей обобщений моделей там же можно подобрать уравнения, которые имеют решения, в частности, можно обобщить безрисковую ставку и волатильность до зависимости по времени.
Страницы 35 и 117: ${V_t} = h(t)V + g(t){V_x} + f(t){V_{xx}}$, и много чего еще…

P.S. Интересно бы увидеть обоснование, почему в мБШ выбрано именно такое «частное» решение, ибо есть варианты для уравнения теплопроводности: http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde101.pdf

P.P.S. Продолжение следует? =))

[mewasovop33org]

Я немного далек от понимания множества формул здесь, но по поводу уравнения Б-Ш - ну да, оно корявое и чего? Хотите дешевых опционов напокупать или цель всего этого? Если интерес математический, полагаю множество исследований на эту тему можно найти минут за 30-60 =) (по крайней мере мне попадались, только читать лень)