Шар на столе с девайсом

[pogulyat_vyshel]

Из центра горизонтального стола вырезают круглый диск и возвращают его на место, устраивая так, что диск может вращаться свободно вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Диск однородный массы $M$ и радиуса $R$.
По столу в сторону диска запускают однородный твердый резиновый шар массы $m$. До попадания на диск шар катится без проскальзывания с угловой скоростью $\boldsymbol \omega$, скорость его центра масс равна $\boldsymbol v$. Какова угловая скорость шара и скорость его центра масс после того, как он сойдет с диска и продолжит движение без проскальзывания?

[Dmitriy40]

pogulyat_vyshel в сообщении #1262124 писал(а):

Какова угловая скорость шара и скорость его центра масс после того, как он сойдет с диска и продолжит движение без проскальзывания?

Ровно такие же, как и до попадания на диск.
Если диск был неподвижен, то не видно никаких предпосылок для разгона диска, так как в точке касания шара и стола (диска) все силы вертикальны и крутящего момента столу (и диску) не создают. Кроме того, шар может накатываться на диск строго по радиусу (ведь в задаче угол не оговорен) - в этом случае любые силы на диск будут радиальными и тоже не приведут к его раскручиванию.

[pogulyat_vyshel]

Вы совершенно правы. Я пропустил по рассеянности очень существенную часть в задаче. Перепишу условие.

Из центра горизонтального стола вырезают круглый диск и возвращают его на место, устраивая так, что диск может вращаться свободно вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Диск однородный массы $M$ и радиуса $R$.
Диск закручивают с заданной угловой скоростью $\nu$ и запускают в сторону диска однородный твердый резиновый шар массы $m$. До попадания на диск шар катится без проскальзывания с угловой скоростью $\boldsymbol \omega$, скорость его центра масс равна $\boldsymbol v$. Какова угловая скорость шара и скорость его центра масс после того, как он сойдет с диска и продолжит движение без проскальзывания?

[Dmitriy40]

Хм, неужели не будет разницы "по" вращению диска шар катится или "против"? Удивительно. Но возможно, точно решать не хочется, сложновато для меня.

(Возможно неграмотные домыслы)

Там ещё может быть эффект дозакрутки шара по другой оси, если массы шара и диска сравнимы, тогда торможение шара (от касания диска до момента перпендикулярности траектории радиусу диска) будет уже не симметрично его разгону (от перпендикулярности траектории радиусу и до ухода шара с диска) из-за торможения диска. И эта несимметричность может вылиться и в разную траекторию разгона (от траектории торможения). А при каких-то параметрах шар вообще может остаться на диске, если на траверзе центра диска линейные скорости в точке контакта шара и диска совпадут. Или даже улететь в обратную сторону.

Вообще в зависимости от соотношения скоростей, масс и прицельного расстояния я уже чуть не полтора десятка вариантов поведения насчитал. Прикидочно.
Не совсем понятно что тут с законом сохранения импульса, но при жестко закреплённом столе он выполняться и не обязан.
Сложно в общем.
Максимум что можно посчитать - условие останова шара на диске бесконечной массы навсегда. Хотя даже это, даже при одном единственном фикисрованном прицельном расстоянии, всё равно сложно, там же траектория по диску будет не прямая, а походу парабола (или скорее гипербола).
Может быть проще будет вообще свести задачу к движению в центральном потенциальном поле и решать через законы Кеплера? Тоже нетривиально.
Не-не, я умываю руки.

[fred1996]

pogulyat_vyshel
Навеное к-т трения все-таки играет роль? Чисто гипотетически ведь даже возможны варианты, когда проскальзывания вообще не случится.
Настораживает еще что шар резиновый. Можно ли из-за этого момент проскальзывания считать абсолютно неупругим ударом? То есть при перемещении на диск и при сходе с диска проскальзывание происходит мгновенно? Если это так, то первое, что приходит на ум, что нужно расчитать что происходит в момент "удара" шара при соприкосновении с поверхностью диска. Затем шар путешествует по диску - неважно каким образом - главное без проскальзывания, а значит он скорее всего слезет с диска с той же скоростью, что и после первого "удара". Ну и дальше надо расчитать второй "удар" - соприкосновение со столом после слезания с диска.

[pogulyat_vyshel]

Мне, собственно, к сказанному добавить нечего. Последняя формулировка задачи корректна. Шар может проскальзывать и по диску

-- 04.11.2017, 20:45 --

А может проскальзывать часть пути по диску, а потом катиться по диску без проскальзывания

[fred1996]

Dmitriy40
Единственное что тут сохраняется - это общий угловой момент вокруг оси вращения диска. Или даже вокруг точки на оси вращения диска.
Так-же можно использовать второй закон Ньютона в диффиренциальной форме, как в предыдущей задаче с платформой на колесах. Только теперь у нас задача двумерная. Но все равно сохраняется тот самый обобщенный импульс. То есть сколько момента приобретет диск, столько потеряет шар. Это при движении по диску.

[pogulyat_vyshel]

Похоже задача так и осталась непонятой. Даже не важно крутится ли диск свободно или с трением или к нему моторчик приделан Ответ от этого не изменится: угловая скорость шара и скорость его центра масс одинаковы до начала приключений с попаданием на диск и после схода с диска и окончания проскальзывания, когда шар катится по столу.

(Решение)

Действительно
Запишем уравнения движения шара

$$J\dot{\boldsymbol{\Omega}}=[\boldsymbol{SP},\boldsymbol R],\quad m\dot{\boldsymbol v}_S=m\boldsymbol g+\boldsymbol R,$$

$J$ -- момент инерции шара относительно оси ,проходящей через его центр $S$; $P$ -- точка контакта шара с диском или столом; $\boldsymbol R$ -- реакция стола или диска.
Эти уравнения верны во все время движения шара, независимо от того как движется диск или есть ли проскальзывание и какое оно.

Выразим реакцию из второго уравнения и подставим в первое

$$J\dot{\boldsymbol{\Omega}}=[\boldsymbol{SP},m\dot{\boldsymbol v}_S].$$

Интегрируя данное равенство получаеам первый интеграл:

$$J{\boldsymbol{\Omega}}-[\boldsymbol{SP},m{\boldsymbol v}_S]=\boldsymbol c.\qquad (1)$$

Вектор $\boldsymbol c$ остается постоянным во все время движения шара.



До и после возмущения диском, когда шар движется без проскальзывания по столу, верно уравнение

$$\boldsymbol v_S+[\boldsymbol{\Omega},\boldsymbol{SP}]=0.\qquad (2)$$

Система линейных уравнений (1)-(2) относительно неизвестных $\boldsymbol \Omega,\boldsymbol v_S$ имеет единственное решение. Поэтому в финальной фазе движения, когда шар катится по столу и проскальзывание прекратилось, угловая скорость шара и скорость его центра масс будут такими же, что и до контакта с диском

[fred1996]

pogulyat_vyshel
А, ну тогда в таком разрезе решение понятно.
У нас задачка сводится к аналогичной одномерной задаче катания шара по столу. Только здесь она двумерная, что сути не меняет. То есть проекция общего углового момента в одном направлении будет постоянной, а в перпендикулярном нулевой. И в конце концов когда проскальзывание завершится, угловая и поступательные скорости вернутся в зад.
Ну что ж, достаточно элегантное обобщение одномерной задачи.
Остается последний каверзный вопрос. Это вы сами задачку придумали?

-- 04.11.2017, 12:11 --

Остается разве что обобщить задачку на любой тип движения по плоской поверхности. Что бы там под шаром ни крутилось ни вертелось, после возвращения на стол он в конце концов как ванька встанька продолжит свой путь в заданном направлении с заданной скоростью.

[wrest]

Если мы не запускаем шар на диск по столу, а кладем шар на диск сверху, то наверное он с диска скатится если есть трение, особенно если к диску приделан моторчик. Значит, шар будет иметь какую-то ненулевую скорость после этого скатывания, за пределами диска.

[fred1996]

А так-же будет вращаться в сторону, обратную движению. Так что в итоге просто остановится