Статистика: оценка по методу максимального правдоподобия

[CrazyArcher]

Здавствуйте

При решении некоторых задач у меня возник такой вопрос: может-ли возникнуть ситуация, при которой невозможно дать оценку параметра в функции плотности вероятности по методу максимального правдоподобия? Если да, то можно-ли сделать из этого какие-либо выводы?

Приведу небольшой пример.
Дана функция плотности: f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{\theta x+1}{2} & |\theta|<1, |x|<1 \\ 0, & else \end{array} \right
Допустим, что выборка состоит из всего одного результата. Тогда L(\theta)=\underset {n=1}{\prod} \frac{\theta x_i+1}{2}=\frac{\theta x+1}{2}. Легко увидеть (:)), что ни производная, ни тем более извлечение логарифма не дают результата. Нахождение $\theta$ по границам ненулевой области также проблематично: это может быть как 1 так и -1. Что делать?

[antbez]

А из условия нормировки нельзя разве найти этот параметр?

[CrazyArcher]

Нет, нельзя: параметр уничтожается при подстановке границ. Можно дать оценку $\theta$ по методу моментов. Однако в любом случае, меня интересует именно метод максимального правдоподобия.

[AD]

CrazyArcher писал(а):

Легко увидеть (Smile), что ни производная [...] не дают результата.

А мне чего-то не легко это увидеть. Производная есть константа $\frac{x}{2}$. Следовательно, надо брать один из концов промежутка в зависимости от знака этой константы. Разве нет?

[CrazyArcher]

Я этот вариант рассматривал, но он меня не устроил как раз из-за зависимости от знака константы... Ну, если в принципе нельзя привести более точную оценку, пусть будет хотя-бы такая...

[AD]

Ну максимум функции правдоподобия у нас при $x\neq0$ всего один. Он самый. То есть $\hat\theta=\mathrm{sign\,}x$ и никак иначе. А при $x=0$ подойдет любое число из $[-1,1]$.

А любая другая оценка уже не имеет права носить гордое звание оценки максимального правдоподобия. Правда, при такой ужасной нерегулярности это звание мало о чем говорит, что мы и видим.

Думаю, ОМП не может "не быть". Максимум у функции правдоподобия где-то быть обязан же ... Хотя бы в $\pm\infty$.