Криволинейный интеграл.

[bobrov]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться!

Вычислить интеграл: $\displaystyle\int_C ydx+zdy+xdz$

Контур $C$ задается условиями: $x^2+y^2+z^2=a^2$, $x+y+z=0$

Подключаем Стокса:

$$\displaystyle\int_{\partial D} Pdx+Qdy+Rdz=\displaystyle\iint_{D}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dy\,dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dz\,dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy$$

Обозначим $C=\partial D$

$$\displaystyle\int_{\partial D} ydx+zdy+xdz=\displaystyle\iint_{D}\left(0-0\right)\,dy\,dz+\left(0-1\right)\,dz\,dx+\left(0-1\right)\,dx\,dy=-\displaystyle\iint_{D}\,dz\,dx+\,dx\,dy$$

Дальше не очень очевидно -- как считать. Гаусса-Остроградского была мысль подключать, но там ведь поверхность должна ограничивать некоторый объем, а у нас $D$ -- есть внутренняя область круга, которая не ограничивает никакой объем.

Еще была мысль перейти к направляющим косинусам. Но есть ли смысл в этом?

Далее преобразую область контура, заданную пересечением сферы и некой плоскости:

$x^2+y^2+z^2=a^2$ и $x+y+z=0$

Выразим $z=-x-y$ и подставим в уравнение сферы $x^2+xy+y^2=\frac{a^2}{2}$

Можно используя поворот избавиться от произведения $xy$, но имеет ли смысл в этом направлении думать?

Какие еще рациональные идеи можно использовать для вычисления интеграла?

[Otta]

bobrov в сообщении #1260295 писал(а):

$=-\displaystyle\iint_{D}\,dz\,dx+\,dx\,dy$

Нет, столько не получается.

bobrov в сообщении #1260295 писал(а):

Еще была мысль перейти к направляющим косинусам. Но есть ли смысл в этом?

Есть, предварительно пересчитав.
Последняя Ваша идея тоже хороша, но там $D$ - вовсе не то, что Вы думаете. Когда "подставим" - это уже не наклонная окружность, а проекция.

[bobrov]

Otta в сообщении #1260305 писал(а):

Нет, столько не получается.

Спасибо, но ведь там фактически скобки, было $-a-b$, я написал $-(a+b)$, это ведь одно и тоже или проблема в другом?

[Metford]

bobrov в сообщении #1260313 писал(а):

проблема в другом?

В другом. Вы ошиблись при вычислении вихря.

[bobrov]

Metford в сообщении #1260314 писал(а):

В другом. Вы ошиблись при вычислении вихря.

Спасибо, исправляюсь.

$$\displaystyle\int_{\partial D} ydx+zdy+xdz=\displaystyle\iint_{D}\left(0-1\right)\,dy\,dz+\left(0-0\right)\,dz\,dx+\left(0-1\right)\,dx\,dy=-\displaystyle\iint_{D}\,dz\,dy+\,dx\,dy$$

$$-\displaystyle\iint_{D}\,dz\,dy+\,dx\,dy=-\displaystyle\iint_{D}(\cos\alpha+\cos\gamma)dS=$$

$$=-\displaystyle\iint_{D}\left(\dfrac{P+R}{\sqrt{P^2+Q^2+R^2}}\right)dS=-\displaystyle\iint_{D}\left(\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)dS$$

-- 29.10.2017, 23:40 --

Otta в сообщении #1260305 писал(а):

это уже не наклонная окружность, а проекция.

$x=0,5\sqrt{2}(x'-y')$, $y=0,5\sqrt{2}(x'+y')$

$$x^2+xy+y^2=0,5(x'-y')^2+0,5(x'-y')(x'+y')+0,5(x'+y')^2=x'^2+y'^2+0,5x'^2-0,5y'^2=\dfrac{a^2}{2}$$

$3x'^2+y'^2=a^2$

Выходит эллипс. Пока идеи на этом исчерпались.

[svv]

Судя по соседней теме, Вы изучаете дифференциальные формы. Для применения теоремы Стокса на языке форм находим
$d(y\,dx+z\,dy+x\,dz)=dy\wedge dx+dz\wedge dy+dx\wedge dz$
Почему же у Вас получается только два слагаемых?

[bobrov]

Спасибо! Да, знатно тупанул я:

$$\displaystyle\int_{\partial D} ydx+zdy+xdz=\displaystyle\iint_{D}\left(0-1\right)\,dy\,dz+\left(0-1\right)\,dz\,dx+\left(0-1\right)\,dx\,dy=$$

$$-\displaystyle\iint_{D}\,dz\,dx+\,dz\,dy+\,dx\,dy=-\displaystyle\iint_{D}(\cos\alpha+\cos\gamma+\cos\beta)dS=$$

$$=-\displaystyle\iint_{D}\left(\dfrac{P+R+Q}{\sqrt{P^2+Q^2+R^2}}\right)dS=-\displaystyle\iint_{D}\left(\dfrac{x+z+y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)dS$$

[svv]

bobrov в сообщении #1260332 писал(а):

$$-\displaystyle\iint_{D}\,dz\,dx+\,dz\,dy+\,dx\,dy=-\displaystyle\iint_{D}(\cos\alpha+\cos\gamma+\cos\beta)dS$$

Тут самое время спросить: а по какой поверхности Вы будете интегрировать? Их ведь много можно натянуть на контур. Как минимум, это
$\bullet$ $x^2+y^2+z^2=a^2$
$\bullet$ $x+y+z=0$
Хоть Ваш интеграл и не зависит от выбора поверхности, но зависит средство его вычисления — направляющие косинусы. С точки зрения сложности вычислений, выбор может быть «лучше» и «хуже».

[bobrov]

svv в сообщении #1260335 писал(а):

Хоть Ваш интеграл и не зависит от выбора поверхности

$x+y+z=0$
Наверное, лучше взять $x+y+z=0$, ведь там все направляющие косинусы равны между собой, да и равны $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, но вот только вопрос, а почему интеграл не зависит от выбора поверхности? У нас же он должен зависеть не только от выбора поверхности, но и от направления обхода контура, ведь интеграл таки 2-го рода, как же так, что-то не очень это понимаю!!!

[svv]

По теореме Стокса
$\int\limits_{D}dy\wedge dx+dz\wedge dy+dx\wedge dz=\int\limits_{\partial D}y\,dx+z\,dy+x\,dz$
А правая часть не зависит от выбора поверхности, при условии, что границей поверхности является заданный контур.

Все поверхностные интегралы (с нашей подинтегральной функцией и по поверхности, натянутой на контур) равны одному и тому же контурному интегралу.

[bobrov]

Спасибо, но все равно не очень понимаю. А разве исходный контур может как-то ограничить плоскость $x+y+z=0$?

[Metford]

bobrov в сообщении #1260341 писал(а):

А разве исходный контур может как-то ограничить плоскость $x+y+z=0$?

А ему и не нужно ограничивать плоскость. В теореме Стокса с одной стороны фигурирует криволинейный интеграл по некоторому контуру, а с другой стороны - поверхностный интеграл, по любой поверхности, натянутой (или "опирающейся" ещё говорят) на этот контур. Т.е. если Вы говорите сейчас о плоскости, то речь идёт на самом деле только о части плоскости, ограниченной контуром.

[bobrov]

Ну я понимаю, что сфера дает это ограничение плоскости, просто кажется странным, что для вычисления интеграла ограничение $x^2+y^2+z^2=a^2$ не используется* Или имеется ввиду, что при вычислении этого интеграла будет впоследствии использоваться это ограничение?
И еще вопрос -- при сведении интеграла второго рода к первому роду (в общем случае) -- куда денется ориентируемость интеграла второго рода?

[Metford]

bobrov в сообщении #1260349 писал(а):

просто кажется странным, что для вычисления интеграла ограничение $x^2+y^2+z^2=a^2$ не используется*

Хм. Интересно, как Вы область интегрирования у двойного интеграла потом укажете, не пользуясь этим ограничением?

(Оффтоп)

Кстати, просветите: что значит звёздочка в конце предложения? Не в первый раз у Вас вижу, всегда глаз инстинктивно смотрит наличие сноски. Что означает сия нестандартная пунктуация?

bobrov в сообщении #1260349 писал(а):

И еще вопрос -- при сведении интеграла второго рода к первому роду (в общем случае) -- куда денется ориентируемость интеграла второго рода?

"Ориентируемость" - это слово, к поверхности относящееся, по которой интеграл вычисляется. Денется она куда-либо при выборе нормали. Обычно при вычислении поверхностного интеграла второго рода стоит указание, куда нормаль направлена. Если же мы приходим к такому интегралу по теореме Стокса, то выбор нормали определяется направлением обхода контура интегрирования в криволинейном интеграле. Они по правилу правого винта должны быть согласованы.

[bobrov]

Спасибо большое, разобрался, если взять нормаль к плоскости (там параметризовал и вычислил интеграл уже, если необходимо, могу расписать, что и как, но не сомневаюсь. Но вопрос есть такой. Если бы я выбрал в качестве поверхности сферу, то нормаль к ней будет иметь совершенно произвольные координаты, ведь она может гулять по сфере "как хочет", если не зафиксировать точку, из которой будем строить эту нормаль, но имеем ли мы право фиксировать какую-то точку?

И еще вопросы ориентированности и выбора поверхности больше всего беспокоят. Я так понял, что с криволинейными интегралами дело обстоит также, что при сведении от 2 рода к первому роду, изначально для второго рода уже указано направление нормали к кривой, верно?

Вот даже если взять теорему Гаусса-Остроградского. Вот например, в левой части стоит интеграл, значение которого зависит от направления нормали, но как это учитывается в правой части?

$${\displaystyle \iint \limits _{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz.} .$$

-- 30.10.2017, 23:29 --

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1260351 писал(а):

Кстати, просветите: что значит звёздочка в конце предложения? Не в первый раз у Вас вижу, всегда глаз инстинктивно смотрит наличие сноски. Что означает сия нестандартная пунктуация?

Это значит, что я прошу обратить внимание на это особенно. Может немного криво изъясняюсь, извините.