Помогите упростить

[van341]

Подскажите пожалуйста, как свести уравнение $\sum\limits_{i=1}^{N}\left[\varepsilon_{n}^{k,i}-\int\limits_{0}^{1}A_{n}^{k,i}(s)u_i(s)ds-\sum\limits_{j=1}^{N}\sum\limits_{m=0}^{M}\varepsilon_{m}^{i,j}\int\limits_{0}^{1}A^{i,j}_{n}(s)P_m(s)ds\right]=0$ ($k=\overline{1,N}$, $n=\overline{1,M}$) к системе из $N$ линейных уравнений. Неизвестны $\varepsilon_{n}^{k,i}$.

[arseniiv]

Вы хотели сказать, системе $MN$ линейных уравнений? Так она у вас и так уже есть. Если же нужно записать её в матрицах, всё просто. Сначала обозначьте не зависящие от неизвестных подвыражения как-то полегче: скажем, первый интеграл как $F(n,k,i)$ и второй как $G(n,m,i,j)$, глаза перестанут цепляться за лишнее. После этого приводите это общее уравнение к виду $\sum\sum\sum(\ldots) = 0$, между делом обозначив сумму $F(n,k,i)$ по $i$ как, скажем, $H(n,k)$, и в конце концов к виду $\sum_i\sum_j\sum_m \varepsilon^{i,j}_m I(i,j,m,n,k) = J(n,k)$, где $I(i, j, m, n, k)$ и $J(n, k)$ — какие-то штуки, не содержащие переменных. Если теперь всевозможные наборы индексов $(i, j, m)$ и $(n, k)$ выписать в строчку, $I((i,j,m),(n,k))$ превращается в матрицу и $\varepsilon^{i,j}_m$ и $J(n,k)$ в столбцы.

[van341]

Я хотел сказать систему $MN^2$ линейных уравнений (по числу неизвестных).

[arseniiv]

Если исходных — линейных — уравнений $MN$, не получится их размножить до $MN^2$ с пользой: система как имела бесконечное множество решений (если имела вообще), так и останется. Если, например, интересует решение с наименьшей нормой или что-то в этом духе, можно будет его выделить из остальных.

[van341]

А такое уравнение: $\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{n=0}^MA^{ki}_{n}(t)\left[\zeta^i_n+u^i_n-\sum\limits_{j=1}^N\sum\limits_{m=0}^MC^{ij}_{nm}\zeta^j_m\right]=0$ по $NM$ неизвестным $\zeta^i_n$ при $t\in\left[0,1\right]$.

[arseniiv]

Ну, тут тоже, во-первых, не одно уравнение, а столько, сколько значений допустимо у $k$, но если $t$ тоже произвольно, можно, конечно же, всегда набрать достаточное количество пар $(k,t)$, чтобы уравнений было сколько угодно. Правда, тут уже слишком много свободы, и мы можем выбрать неудачные с точки зрения численных методов значения $t$. Или не можем, но условие слишком лаконично, чтобы знать наверняка.