slimsaw писал(а):
Ну хорошо, вот выбрали в качество

какой-то вектор в произвольными координатами

. Но в выражении для функционала

,

зависит от одной переменной,

и

- действ. числа. А ведь

должен зависеть от двух переменных. В чём моя ошибка? Или

в выражении для

зависит от двух переменных?
И в выражении для

, как

имеет две координаты. Как

подставить в

?
Во-первых, фиксируем на плоскости систему координат так, чтобы данная прямая была первой из координатных осей.
Функционал

задан на прямой

, вложенной в

, то есть его аргументы - это векторы
плоскости, лежащие на прямой. Любой вектор на плоскости имеет две координаты. Я не буду дальше обозначать векторы одной буквой, чтобы мы окончательно не запутались, только так:

. Векторы, лежащие на нашей прямой - тоже имеют две координаты, которые уже не произвольны: они должны удовлетворять уравнению данной прямой (при нашем выборе системы координат

).
Я ведь специально написал в очень корявом виде

, чтобы подчеркнуть, что аргументом

является один вектор. Вы, конечно, можете написать это покороче:

и говорить, что

- функция двух переменных (числовых). Точно также и

- то продолжение, которое мы хотим построить - функция одного вектора, но двух переменных. Разница между ними в области определения: в

можно подставлять любой вектор, то есть выражение

определено при любых

, а в

- только векторы нашей прямой (то есть вторая переменная должна быть 0).

Вам дано,

нужно придумать так, чтобы получился линейный (следовательно, ограниченный - почему?) функционал, норма которого равна норме

. Кстати, о чем я раньше думал!? - какая у Вас норма? Евклидова?
А вообще у меня ощущение, что я слишком много пишу. Посмотрите первое предложение первого моего поста в этой теме. Тогда даже на вопрос о норме можно не отвечать.