Работа по поднятию цилиндра с газом

[lel0lel]

Горизонтально расположенный цилиндр длины $h$ с площадью сечения $S$ заполнен идеальным газом ($N$ частиц массы $m$). Какую работу необходимо совершить, чтобы перевести цилиндр в вертикальное положение (массу цилиндра не учитывать)? Считать, что подъём осуществляется медленно, при этом температура газа в цилиндре и температура окружающей среды $\theta=kT$. Поле тяжести однородно.

[DimaM]

Если $kT\gg mgh$, все просто. Если нет, считать положение центра масс в горизонтальном состоянии муторно и неохота.

[fred1996]

Так а тут при малых температурах вообще непонятно, что значит температура газа. Если газ идеальный, считается что его молекулы не сталкиваются друг с другом, а только со стенками.
Поэтому температура падает с высотой (с падением вертикальной составляющей скорости).
И что в таких условиях прикажете делать с "температурой" газа и температурой стенок. Когда процесс все время неравновесный. Или будем считать вопреки всему, что соударения молекул газа со стенками типа соударений идеальных шаров? Хотелось бы более прозрачных формулировок.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1258801 писал(а):

Поэтому температура падает с высотой

Нет. С высотой падает давление, а не температура идеального газа. Скорость падает, но самые медленные молекулы удаляются из распределения.

[fred1996]

Ну так можно ли считать, что давление в замкнутом сосуде уменьшается с высотой по экспоненте? Тогда это просто счетная задача, которую решать не интересно.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1258823 писал(а):

Ну так можно ли считать, что давление в замкнутом сосуде уменьшается с высотой по экспоненте? Тогда это просто счетная задача, которую решать не интересно.

Не совсем. Сосуд не теплоизолирован.

[lel0lel]

DimaM в сообщении #1258794 писал(а):

Если $kT\gg mgh$, все просто.

Да, это так. В этом случае распределение частиц почти однородно. С точностью до членов порядка $(mg/\theta)^2$ ответ будет совпадать с ответом для подъёма однородного цилиндра массой $Nm.$

DimaM в сообщении #1258794 писал(а):

считать положение центра масс в горизонтальном состоянии муторно и неохота.

Дополним условие требованием $h\gg \sqrt{S/\pi}$, т.е. высота цилиндра много больше его радиуса. Таким образом, мы поймаем сразу двух зайцев: 1) не надо рассчитывать центр масс в горизонтальном положении, можно считать, что он находится в центре цилиндра, это приведёт к ошибке порядка $\sqrt{S}/h$.
2) Если считать, что цилиндр лежит на столе и имеет ненулевой радиус основания, то пришлось бы учитывать эффект вставания на ребро (на окружность основания). Подобно тому как если мы хотим перевернуть на столе однородный кубик с ребром $a$ (осуществить поворот возле одного из его рёбер), нам придётся поднять его центр масс на высоту $a/2(\sqrt{2}-1)$. Введённое выше условие позволяет этот эффект не учитывать.
Возможно, что более удачно было бы подвесить трубку за её середину на перекладину перпендикулярно ей, с возможностью вращаться. Тогда вопрос звучал бы так - какую работу нужно совершить, чтобы из вертикального - устойчивого положения равновесия перевести трубку в горизонтальное положение. Но раз уж задача сформулирована так как сформулирована, то решать предлагаю именно исходную с дополнительным условием малости радиуса основания в сравнении с длиной цилиндра. Для красивой формы ответа положим, что $S=1\text{см}^2.$

fred1996 в сообщении #1258801 писал(а):

Если газ идеальный, считается что его молекулы не сталкиваются друг с другом, а только со стенками.

Это неверно, почитайте школьный учебник или

(Оффтоп)

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B4%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B3%D0%B0%D0%B7

fred1996 в сообщении #1258801 писал(а):

Так а тут при малых температурах вообще непонятно, что значит температура газа.

В этой классической задаче не рассматриваем температуры ниже чем температура вырождения, можно считать, что выполняется уравнение состояния ид. газа во всей интересующей нас области температур и теплоёмкость при постоянном объёме постоянна.

fred1996 в сообщении #1258801 писал(а):

Когда процесс все время неравновесный.

Процесс подъёма квазистатический, я об этом писал - медленно.

fred1996 в сообщении #1258823 писал(а):

Ну так можно ли считать, что давление в замкнутом сосуде уменьшается с высотой по экспоненте?

Разумеется, в любом равновесном состоянии получим распределение Больцмана, но соль задачи не в этом.

[realeugene]

(идея решения)

В общем, нужно посчитать изменение внутренней потенциальной энергии и энтропии в начальном и конечном состояниях. Так как процесс квазистатический - всё изменение энтропии связано с теплопередачей через стенки. Искомая работа равна изменению внутренней энергии потенциальной энергии в поле гравитации плюс количество ушедшего тепла. Потенциальную энергию и энтропию идеального газа считаем интегрированием по высоте с использованием распределения Больцмана.