Закон движения для прямолинейного движения при a(t)=kt

[tohaf]

Если $a = \operatorname{const} $ :

$$ \vec{v}(t)= \frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v_0}+\vec{a}t $$

Решим это диф. уравнение с помощью интегрирования и получим:

$$\vec{r}(t) =\vec{v_0}t+\frac{\vec{a}t^2}{2} + \vec{C} $$

$\vec{C}$ равносильно начальному радиус-вектору, верно?

$$\vec{r}(t) = \vec{r_0}+\vec{v_0}t+\frac{\vec{a}t^2}{2} $$

Но если $\vec{a}(t)=kt$ , то сначала интегрируем $a$, получаем скорость:

$$ \vec{a}(t) = \frac{dv}{dt} = kt$$

$$ \vec{v}(t) = \frac{kt^2}{2} + \vec{C} $$

И тут тоже $\vec{C}$ равносильно $v_0$?

$$ \vec{v}(t) = \vec{v_0} + \frac{kt^2}{2}$$

Снова интегрируем

$$ \vec{v}(t) = \frac{dr}{dt} = \vec{v_0} + \frac{kt^2}{2}$$

$$ \vec{r}(t) = \vec{v_0}t + \frac{kt^3}{6} + \vec{C} $$

Правильно, что тогда полный закон прямолинейного движения из какой-то начальной точки и с какой-то начальной скоростью и с ускорением $a=kt$ будет выглядеть так:

$$\vec{r}(t) = \vec{r_0}+\vec{v_0}t+\frac{kt^3}{6} $$

?

[warlock66613]

tohaf в сообщении #1258256 писал(а):

Решим это диф. уравнение с помощью интегрирования и получим

Это стоит расписать подробнее. И скажите, вы ищете частное решение уравнения или общее?

[Metford]

1. У Вас с векторами проблема. Для начала с написанием: не нужно аргумент в окружение вектора загонять, лучше будет. А в последнем выражении, например, Вы к векторам прибавляете скаляр. Нехорошо это. Вы в ускорении эту ошибку совершили.
2. Почему Вы приписываете константу интегрирования так, словно это отдельная операция? Она при интегрировании сразу должна появляться.

Если эти шероховатости поправить, будет нормально. Но вектор, по крайней мере, нужно поправить обязательно.

[Pphantom]

tohaf в сообщении #1258256 писал(а):

Правильно, что тогда полный закон прямолинейного движения из какой-то начальной точки и с какой-то нулевой скоростью и с ускорением $a=kt$ будет выглядеть так:

Да. Только скорость явно имелась в виду ненулевая, да и вектора в подобной ситуации писать незачем.

[tohaf]

warlock66613
Metford
Pphantom
Вроде бы, ко всему прислушался, теперь правильно?
Или $C$ должно быть вектором ?

[Metford]

Так. Вам верно сказали, что при прямолинейном движении вовсе не требуется векторная форма. Но уж если пишете в ней, то делайте это правильно. У Вас по-прежнему сумма вектора и скаляра. Причина прежняя.

[tohaf]

Metford, а, я понял. Ну да.
Но как тогда будет? То есть, если $a= \operatorname{const}$ , то с векторной формой всё красиво получается....
Так же понятно, что можно и без неё обойтись, в принципе. Но если хочется, то как тогда должно быть? не понимаю.

[Metford]

Можно записать, предполагая, что движение происходит вдоль оси абсцисс, что $\vec{a}=kt\vec{e_x}$. Или можно считать, что вместо константы $k$ в ускорении стоит вектор, коллинеарный оси абсцисс. Дальше всё, как у Вас.

[arseniiv]

tohaf в сообщении #1258256 писал(а):

$\vec{C}$ равносильно начальному радиус-вектору, верно?

tohaf в сообщении #1258256 писал(а):

И тут тоже $\vec{C}$ равносильно $v_0$?

Ну, во-первых, не равносильно, а равно — равносильны утверждения. Во-вторых, это легко проверяется. Что такое $\vec v_0$? Это $\vec v|_{t=0}$ — вот и подставьте вместо $t$ ноль, и получится $\vec v_0 = \vec C$, аналогично с $\vec r_0$.