Не знаю, интересно ли это ещё автору темы.
Например для

можно попробовать использовать следующее рассуждение.
Возьмём какое-то

, соответствующее условию. Для

получается

. Попробуем представить ситуацию, когда две точки, требуемые по условию, не найдутся.
Очевидно, если для какого-то из участков

выполняется

, то внутри этого интервала найдутся две точки одного цвета на требуемом расстоянии. Поэтому рассмотрим случай, когда каждый участок отрезка

меньше

.
Построим дополнительный отрезок-"ползунок" длины

, который назовём

. Совместим точку

с точкой

, так чтобы точка

оказалась между точками

и

. Будем смещать отрезок

в направлении точки

. Допустим, изначально концы отрезка

попадают на участки разного цвета.
Следующее утверждение выглядит очевидным: до того, как точка

отрезка

доползёт до точки

по крайней мере один из концов отрезка

по крайней мере один раз пересечёт по крайней мере одну из точек

. Это следует из того, что

. Таким образом, если изначально точки

и

попадали на участки разного цвета, то рано или поздно реализуется ситуация, когда они обе попадут на участки одного цвета.