2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача с AOPS"a
Сообщение23.10.2017, 06:37 


02/12/09
13
Отрезок AB длины 1 разбит точками C1,C2,...,Cn на части AC1,C1C2,...,CnB. Эти части покрашены цветами A1,A2,...,Ak (k > 1) попеременно, в произвольном порядке (n > k-1, и можно считать, что точки Ci имеют любой цвет). Докажите , что для одного из этих цветов, для каждого 0 < d < 1/(k+1), найдутся 2 точки одного цвета на расстоянии d.

P.S. Задачки подобного типа мне очень нравятся, но тут даже при k=2 что-то не пошло...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с AOPS"a
Сообщение02.01.2018, 19:36 


20/03/12
169
СПб
Не знаю, интересно ли это ещё автору темы.

Например для $k=2$ можно попробовать использовать следующее рассуждение.

Возьмём какое-то $d$, соответствующее условию. Для $k=2$ получается $0<d<1/3$. Попробуем представить ситуацию, когда две точки, требуемые по условию, не найдутся.

Очевидно, если для какого-то из участков $C_i, C_{i+1}$ выполняется $|C_{i+1}-C_i|\geqslant d$, то внутри этого интервала найдутся две точки одного цвета на требуемом расстоянии. Поэтому рассмотрим случай, когда каждый участок отрезка $AB$ меньше $d$.

Построим дополнительный отрезок-"ползунок" длины $d$, который назовём $CD$. Совместим точку $C$ с точкой $A$, так чтобы точка $D$ оказалась между точками $A$ и $B$. Будем смещать отрезок $CD$ в направлении точки $B$. Допустим, изначально концы отрезка $CD$ попадают на участки разного цвета.

Следующее утверждение выглядит очевидным: до того, как точка $D$ отрезка $CD$ доползёт до точки $B$ по крайней мере один из концов отрезка $CD$ по крайней мере один раз пересечёт по крайней мере одну из точек $C_i$. Это следует из того, что $AC_1<d<1/3$. Таким образом, если изначально точки $C$ и $D$ попадали на участки разного цвета, то рано или поздно реализуется ситуация, когда они обе попадут на участки одного цвета.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group