Атом Томсона и магнитно-дипольное излучение

[Metford]

Попалась мне на глаза задача из сборника Алексеева по классической электродинамике. Речь идёт об атоме Томсона, который автором определяется как неподвижный равномерно заряженный по объёму шар с электроном внутри, совершающим колебания. Всё, как обычно. Ставится вопрос: есть ли в данном случае магнитно-дипольное излучение.
Значит, есть стандартная формула

$$I=\frac{2}{3c^3}\ddot{\vec{\mu}}^2.$$

Магнитный момент по определению

$$\vec{\mu}=\frac{e}{2c}\left[\vec{r},\vec{v}\right].$$

Дважды дифференцируем по времени:

$$\dot{\vec{\mu}}=\frac{e}{2c}\left[\vec{r},\vec{w}\right],$$

$$\ddot{\vec{\mu}}=\frac{e}{2c}\left[\vec{v},\vec{w}\right]+\frac{e}{2c}\left[\vec{r},\dot{\vec{w}}\right].$$

Уравнение движения электрона (начало координат выбрано в центре шара)

$$m\vec{w}=-e\frac{\vec{r}}{R^3}\Rightarrow \vec{w}=-\frac{e}{mR^3}\vec{r},\;\dot{\vec{w}}=-\frac{e}{mR^3}\vec{v}.$$

Таким образом,

$$\ddot{\vec{\mu}}=-\frac{e^2}{2mR^3c}\left[\vec{v},\vec{r}\right]-\frac{e^2}{2mR^3c}\left[\vec{r},\vec{v}\right]=0.$$

Получается, что никакого магнитно-дипольного излучения быть не должно.

Читаем у Алексеева: излучение отсутствует в системе центра инерции, а в других - оно есть. Возникают два вопроса:
1. вроде бы я считал не в системе центра инерции, но у меня излучение отсутствует - Алексеев ошибается? или я ошибаюсь?
2. переходом из системы в систему можно исключить излучение?

Там ещё в задачнике есть аналогичная задача с атомом Резерфорда. С ней пока разбираться не хочется: движение электрона немного сложнее, но суть та же.

[amon]

Metford в сообщении #1258062 писал(а):

$$m\vec{w}=-e\frac{\vec{r}}{R^3}\Rightarrow \vec{w}=-\frac{e}{mR^3}\vec{r},\;\dot{\vec{w}}=-\frac{e}{mR^3}\vec{v}.$$

То, что в глаза бросилось. Поле внутри вроде как линейно по радиусу.

[Metford]

amon
Применяю теорему Гаусса для сферы радиусом $r<R$:

$$4\pi r^2\cdot E=4\pi\cdot\frac{e}{\frac{4}{3}\pi R^3}\frac{4}{3}\pi r^3\Rightarrow E=e\frac{r}{R^3}.$$

Поле направлено радиально, поэтому

$$\vec{E}=e\frac{\vec{r}}{R^3}.$$

Вроде всё так.

[amon]

Виноват, посмотрел второпях и показалось, что у вас $1/r^2$. Будет время - посмотрю внимательно. У Вас ещё неявно предполагается, что шар неподвижен (имеет бесконечную массу), но это тоже второпях.

[Metford]

amon в сообщении #1258082 писал(а):

У Вас ещё неявно предполагается, что шар неподвижен (имеет бесконечную массу)

Это не у меня, это у Алексеева... В условии, где определяется, что такое атом Томсона, сказано, что шар неподвижен.

amon в сообщении #1258082 писал(а):

Будет время - посмотрю внимательно.

Буду признателен!

[amon]

IMHO, Вы как раз в СЦМ всё и сосчитали, поскольку радиус отсчитывали от центра шара, а он бесконечно тяжелый (иначе болтался бы при движении электрона, и эту болтанку пришлось бы учитывать). Что тут еще можно считать за центр масс я не знаю.

[Metford]

amon в сообщении #1258165 писал(а):

Что тут еще можно считать за центр масс я не знаю.

Да. Вы правы. Я отвлёкся от самого шара: заряд и всё. А его нужно бесконечно тяжёлым считать.

Хорошо. А насчёт второго вопроса: получается, что излучение можно исключить переходом в другую систему отсчёта?

[amon]

А этого я не понимаю, также как и Вы. Просто сдвиг начала отсчёта координат ничего, естественно, не даст, это просто замена переменных в Ваших уравнениях. Может, имелось ввиду то, что при конечной массе "протона" надо учитывать его движение, что даст дополнительный магнитный момент, может ещё что - загадочная фраза.

[Metford]

amon
Спасибо за помощь! В общем, я думаю, что больше уже сделанного делать и не нужно.

[rustot]

Если $\vec{a} = k\vec{r}$ то естественно $\vec{r}\times\vec{v} = \operatorname{const}$

Но почему вы берете $\vec{a} = k\vec{r}$? Вы излучение в центре шара что-ли ищете? В центре шара, как и вообще на оси движения электрона, оно действительно нулевое.

Вот если вы разложите $\vec{r}$ из точки где ищете излучение до электрона на вектор из нее в центр шара $\vec{r_0}$ и вектор из центра до электрона $\vec{a} = k(\vec{r} - \vec{r_0})$ то будет уже другая история. $(\vec{r}\times\vec{v})' = - k\vec{r}\times\vec{r_0}$

[Metford]

rustot в сообщении #1258237 писал(а):

Вы излучение в центре шара что-ли ищете?

Нет, почему Вы решили? В формулу интенсивности магнитно-дипольного излучения (а это вовсе не вблизи центра шара!) входит магнитный момент того, что излучает. Вот я и ищу магнитный момент, а затем его вторую производную. Откровенно говоря, вообще не понял Ваше сообщение...

[rustot]

Для одиночного движущегося заряда магнитный момент не является "моментом вообще" как допустим для контура, не имеющего электрического момента. Его величина зависит от точки, относительно которой он рассчитывается. Например возьмете относительно точки, которая лежит на оси движения - он получится нулевым.

И если вам хочется рассчитать излучение именно через магнитный момент, то рассчитывать момент придется относительно той точки, для которой считается излучение, а не располагать начало координат там, где удобнее.

[Metford]

rustot
Я повспоминал на досуге и как-то не припомнил книгу, где бы рассматривалось введение магнитного момента для одиночного движущегося заряда. Вы не подскажете, где это есть? Был бы признателен. Обычно либо рассматривается поле вдали от системы зарядов или момент контура с током

[rustot]

Так вы же сами его использовали после фразы "магнитный момент по определению". $q(\vec{r}\times\vec{v})$ есть не что иное как частный случай от $\int (\vec{r}\times\vec{j}) dV$ как раз для точечного заряда

Тут история абсолютно такая же как с моментом импульса. В общем случае момент импульса системы разный относительно разных точек. Но в одном частном случае $\int \rho \vec{v} dV = 0$ ("система покоится") он одинаков относительно всех точек что позволяет рассчитав его относительно наиболее удобной точки потом использовать относительно любой.

С магнитным моментом то же самое, если $\int \vec{j} dV = 0$ то можно рассчитать магнитный момент не относительно той точки для которой он требуется, а относительно той что удобнее, результат будет все равно тот же самый. Но это не ваш случай, у вас $\int \vec{j} dV = q\vec{v} \ne 0$ и вам придется рассчитывать момент отдельно для каждой точки, в которой вы ищете излучение, а не использовать единый универсальный

[Metford]

Да, я неточно сформулировал вопрос. Меня скорее интересовало не само вычисление магнитного момента, а его использование уже в расчёте излучения. Скажем, у того же Ландау внимание не заостряется на этом вопросе. Странновато как-то получается, что интенсивность излучения будет через магнитный момент зависеть от того, где выбрано начало координат.