8 прямоугольников

[Ktina]

Можно ли разрезать квадрат $5\times 5$ на прямоугольники двух видов: $1\times 4$ и $1\times 3$ так, чтобы получилось 8 прямоугольников?

[slavav]

Нет, нельзя.
По числу клеток на поле устанавливаем, что прямоугольник $1 \times 4$ один, а прямоугольников $1 \times 3$ семь.
Для прямоугольника $1 \times 4$ есть только три различных положения на поле (с точностью до поворотов и симметрий).
Для все трёх случаев перебором показываем, что остаётся незаполненная дырка. Переборы всегда сводятся к одному форсированному варианту.

[gris]

На семь лучше разрезать. Семь — число счастливое.

[Ktina]

gris в сообщении #1257866 писал(а):

На семь лучше разрезать. Семь — число счастливое.

На семь легко совсем

(Оффтоп)

Яца харуз меа ахуз

-- 22.10.2017, 14:40 --

slavav в сообщении #1257861 писал(а):

Нет, нельзя.
По числу клеток на поле устанавливаем, что прямоугольник $1 \times 4$ один, а прямоугольников $1 \times 3$ семь.
Для прямоугольника $1 \times 4$ есть только три различных положения на поле (с точностью до поворотов и симметрий).
Для все трёх случаев перебором показываем, что остаётся незаполненная дырка. Переборы всегда сводятся к одному форсированному варианту.

Можно без перебора, есть очень красивое решение, я пока подожду, вдруг кто догадается

[gris]

А чего там догадываться? Хорошая поворачиваемая раскраска помогает. 9 черных и 16 белых так, что короткая плашка всегда покрывает ровно одну чёрную. А повернуть так, чтобы длинная плашка покрывала одну чёрную и три белых. Неохота рисовать. Может быть, какая более понятная раскраска или расстановка цифер есть. Стандартный приём.

[Ktina]

А вот моё решение:

Покрасим клетки центрального столбца и центральной строки (всего их 9) в зелёный цвет, остальные - в белый.
Каждый 3-клеточный брус занимает либо 1, либо 3 зелёных клетки (в любом случае, нечётное число).
А 4-клеточный (он может быть только один, иначе всего получится более 25 клеток) - либо 1, либо 4.

Если каждый из 3-клеточных брусков занимает по одной зелёной клетке, то всего занято 7, и остаются две клетки для 4-клеточного, но 4-клеточный может занимать только 1 или 4.

Если же 3-клеточными брусками заняты все 9 зелёных клеток, для 4-клеточного вообще ничего не остаётся.