Непрерывность по Дедекинду

[student1138]

По Дедекинду множество является непрерывным если существует ровно один наибольший/наименьший элемент в нижнем/верхнем классе соответственно. Геометрически это объясняется так: если существуют оба элемента то мы имеем место со "скачком" (т.е. из прямой удален интервал). Если отсутсвуют оба элемента, то имеется "пробел" (из прямой удален отрезок). Как я понял, именно отсутствием таких "пустот" называют непрерывность.

Но есть же еще один случай почему-то не рассмотренный в тех источниках которые я читал - если из прямой удален полуинтервал. Причем этот случай соответствует критерию непрерывности Дедекинда. Например, удалим из $\mathbb{R}$ полуинтервал $(0;1]$. И рассмотрим очевидное разбиение на два класса. Тогда в левом классе сечения будет наибольший элемент (ноль), а в правом классе наименьшего не будет. Получается такое множество по Дедекинду непрерывно, но с другой стороны во множестве есть "пустота". Как это объяснить?

[mihaild]

А такое множество изоморфно обычной прямой как топологическое пространство с порядком. Так что отличить его от прямой не удастся.

[student1138]

Ок, еще такой вопрос. По аксиоме непрерывности как она дается в учебнике (например Зорича) множество $\mathbb{Z}$ - непрерывно. А по Дедекинду - не непрерывно. Как это понимать? По идее эти аксиомы должны быть эквивалентны?

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1257860 писал(а):

А такое множество изоморфно обычной прямой как топологическое пространство с порядком.

Изоморфно как пространство с порядком - это да.

Но не как топологическое пространство!

student1138 в сообщении #1257854 писал(а):

Но есть же еще один случай почему-то не рассмотренный в тех источниках которые я читал - если из прямой удален полуинтервал. Причем этот случай соответствует критерию непрерывности Дедекинда. Например, удалим из $\mathbb{R}$ полуинтервал $(0;1]$. И рассмотрим очевидное разбиение на два класса. Тогда в левом классе сечения будет наибольший элемент (ноль), а в правом классе наименьшего не будет. Получается такое множество по Дедекинду непрерывно, но с другой стороны во множестве есть "пустота". Как это объяснить?

Да, такое множество будет непрерывным по Дедекинду, потому что структура порядка у него не отличается от порядка на обычной прямой. Непрерывность по Дедекинду - относится именно к структуре порядка.

Как топологические пространства различить их можно, для этого используется не понятие "непрерывности по Дедекинду", а понятие связности. Числовая прямая связна ("не имеет дырок"), прямая с выкинутым полуинтервалом несвязна.

Привыкайте, что в математике одному и тому же интуитивному понятию может соответствовать несколько разных строгих определений. Причём каждое из них соответствует этому интуитивному понятию только в каких-то условиях, а в других перестаёт соответствовать.

[student1138]

Я вот что заметил: на вопросы из начальных глав учебника по анализу мне дают ответы в топологических понятиях. Может быть тогда имеет смысл не читать учебник по анализу а сразу читать топологию?

[provincialka]

student1138 Ну, собственно в начальных разделах учебников как раз и обсуждают топологию, только в ее частном случае, на вещественной прямой.
Но все-таки общая топология не должна опережать "матанализ". Просто методически. Сначала надо освоиться с частным случаем, а потом переходить на общий. В крайнем случае можно изучать их параллельно.