Доказательство непрерывности отображения

[gogoshik]

Проверьте пожалуйста доказательство. Верно ли оно? Прошу помочь если что не так.

Задача. Пусть $A$ - контур равностороннего треугольника, а $B$ - описанная вокруг него окружность. Тогда центральное проектирование $p$ точек множества $A$ на окружность является отображением $p: A \to B$. Доказать, что данное отображение непрерывно.

Доказательство (моя версия). Очевидно, что можно задать радиус - отрезок соединяющий центр окружности с любой точкой (пусть это будет некоторая исходная точка $b$), лежащей на окружности. Центр равностороннего треугольника является центром описанной окружности. Радиус пересекается (имеет общую точку, пусть $a$) с контуром треугольника. При любых поворотах, на радиусе всегда можно найти две точки принадлежащие $A$ и $B$. Любой точке окружности будет соответствовать какая то одна точка $B$ и наоборот. Если мы повернем радиус на сколь угодно малый угол, то получим новое положение (новую точку $b'$) на окружности, которая будет мало отличаться от исходной точки. Этой новой точке будет соответствовать новая точка на $a' \in A$, которая тоже будет мало отличаться от исходной точки $a$, так как лежит на радиусе. Мы можем это сделать для любых точек $A$ и $B$, выполнив круговое движение. Таким образом отображение $p: A \to B$ непрерывно в каждой точке множества $A$.

[gefest_md]

Я начал бы с формулировки определения непрерывности и следовал бы ему. Я использовал бы слово «окрестность» в доказательстве.

[gogoshik]

Дано такое определение. Отображение$ f: A \to B $ называется непрерывным в точке $x_0 \in A$, если для $x$, «мало» отличающихся от $x_0$, значения $f(x)$ и $f(x_0)$ тоже «мало» отличаются друг от друга. Отображение $ f: A \to B $ непрерывно, если оно непрерывно в каждой точке множества $A$. Я исходил из этого.

Слово «окрестность» не приводилось. Поэтому я его не использовал.

[gefest_md]

Насколько мало в первом случае и насколько мало во втором. В хорошем определении эти малости возможно не одинаковые. Приведу такое определение непрерывности в точке $a$ для этого примера:
Для любой окрестности $V(p(a))$ точки $p(a)$ на окружности существует окрестность $U(a)$ точки $a$ на треугольнике такое, что для любого $x\in U(a)$ имеем $p(x)\in V(p(a))$.

[demolishka]

gogoshik в сообщении #1256317 писал(а):

Слово «окрестность» не приводилось. Поэтому я его не использовал.

Вы случаем не с философского факультета? В таком случае Ваше "доказательство" сгодится.

[gogoshik]

demolishka в сообщении #1256326 писал(а):

gogoshik в сообщении #1256317 писал(а):

Слово «окрестность» не приводилось. Поэтому я его не использовал.

Вы случаем не с философского факультета? В таком случае Ваше "доказательство" сгодится.

Хм. А что не так с доказательством то?

[demolishka]

gogoshik в сообщении #1256358 писал(а):

Хм. А что не так с доказательством то?

Оно конечно доказательство, но на уровне "немного пошевелим тут, там тоже изменится немного, значит отображение непрерывно". С таким успехом можно вообще ничего не писать и нарисовать картинку. Все-таки если это задача учебного характера для человека, который только вот начал изучать топологию, то от него требуется написание всех формальностей связанных с соответствующими топологиями и непрерывностью. Это нужно для того, чтобы проверить действительно ли Вы понимаете те вещи, которые стоят за этими взмахами руками.

[gogoshik]

demolishka в сообщении #1256372 писал(а):

Оно конечно доказательство, но на уровне "немного пошевелим тут, там тоже изменится немного, значит отображение непрерывно" ...

Ой, Вы попали в точку ) Я только начинаю изучать по книжке (библиотечка КВАНТ), которая написана в том числе и для школьников. Высоким уровнем не владею.
Объясните плиз, что не так в доказательстве, что мне надо сделать, чтобы поднять уровень доказательства. Очень-очень хочу понять. Без Вашей любезной помощи видимо не обойдусь )

[demolishka]

gogoshik в сообщении #1256385 писал(а):

Я только начинаю изучать по книжке (библиотечка КВАНТ), которая написана в том числе и для школьников.

Тогда конечно представленное доказательство сойдет, поскольку даже

gogoshik в сообщении #1256317 писал(а):

Слово «окрестность» не приводилось.

Но учтите, что это всего лишь взмахи руками и пока Вы не поймете, какие математические формальности стоят за этими взмахами, это можно считать просто развлечением и ничем более. Конечно такие математические формальности это сплошное занудство, но без понимания того как они работают на таких простых примерах, будет сложно в дальнейшем изучать что-то более сложное. Чтобы повысить математический уровень доказательства надо взять учебник топологии и прорабатывать его с самого начала. Это если невтерпеж. Вы, вроде как, первокурсник, так что лучше подождите пока начнутся лекции по топологии.

[gogoshik]

Спасибо ) Ну подскажите тогда мне плиз про эти математические формальности, чтобы доказательство обрело более высокий уровень. Я готов внимательно слушать и делать. Думаю, что на этом форуме есть хорошие учителя и Вы может быть в том числе. Вся надежда на вас.

[arseniiv]

Тут надо начинать с определения пространства, от этого зависит общность остальных определений. Курс, который вы рассматриваете, по анализу, метрическим пространствам, топологии?

[gogoshik]

Думаю, что по топологии (ну так книжка называется - Наглядная топология). Там эта задача приводится на первых страницах, после некоторого рассказа про непрерывность и отображения. Про пространства авторы пока ничего не говорят.

[arseniiv]

Хм, ну, топология — это хорошо, но если начать с общетопологического определения топологического пространства, вы наверняка точно запутаетесь, потому что такие пространства очень разнообразны, а в книге, скорее всего, рассматриваются в основном более-менее хорошие (например, многообразия; треугольник и окружность — они). Кто-нибудь что-нибудь посоветует. Ну, можно начать с определений окрестностей, предела и непрерывности в $\mathbb R^n$, а потом обобщать. Эти обычно можно найти в учебнике матанализа, притом там сначала рассматривается просто $\mathbb R$.