Утверждения про треугольники

[Vitalius]

Пусть $a$, $b$, $c$, $h_{a}$, $h_{b}$, $h_{c}$, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно стороны, высоты и углы в произвольном треугольнике. Докажите, что:

$\frac{a+b+c}{h_{a}+h_{b}+h_{c}}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta+\sin\alpha\sin\gamma+\sin\beta\sin\gamma}$,

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}=\frac{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma}{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\gamma+\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma}$.

[Vitalius]

Пусть $a$, $b$, $c$, $m_{a}$, $m_{b}$, $m_{c}$, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно стороны, медианы и углы в произвольном треугольнике. Если:

$n\equiv\frac{a+b+c}{m_{a}+m_{b}+m_{c}}$,

то докажите, что:

$\begin{array}{ll} \left(n^{2}+4\right)^{2}\left(81n^{4}-56n^{2}+16\right)\left(\sin^{6}\alpha+\sin^{6}\beta+\sin^{6}\gamma\right)-\\ \\ -6\left(n^{2}+4\right)\left(3n^{2}-4\right)^{3}\left(\sin^{5}\alpha\sin\beta+\sin^{5}\alpha\sin\gamma+\right.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.+\sin^{5}\beta\sin\alpha+\sin^{5}\beta\sin\gamma+\right.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.+\sin^{5}\gamma\sin\alpha+\sin^{5}\gamma\sin\beta\right)-\\ \\ -3\left(27n^{8}+368n^{6}-480n^{4}+1792n^{2}-1280\right)\cdot\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot\left(\sin^{4}\alpha\sin^{2}\beta+\sin^{4}\alpha\sin^{2}\gamma+\right.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.+\sin^{4}\beta\sin^{2}\alpha+\sin^{4}\beta\sin^{2}\gamma+\right.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.+\sin^{4}\gamma\sin^{2}\alpha+\sin^{4}\gamma\sin^{2}\beta\right)+\\ \\ +4\left(3n^{2}-4\right)^{2}\left(9n^{4}+24n^{2}+80\right)\cdot\\ \cdot\left(\sin^{3}\alpha\sin^{3}\beta+\sin^{3}\alpha\sin^{3}\gamma+\sin^{3}\beta\sin^{3}\gamma\right)+\\ \\ +6\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\left[6\left(135n^{8}+304n^{6}+288n^{4}-2304n^{2}+3840\right)\cdot\right.\\ \left.\cdot\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma+\left(3n^{2}-4\right)^{2}\left(9n^{4}+24n^{2}+80\right)\cdot\right.\\ \left.\left(\sin^{3}\alpha+\sin^{3}\beta+\sin^{3}\gamma\right)-2\left(27n^{8}-96n^{4}+1024n^{2}-1280\right)\cdot\right.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\cdot\left(\sin^{2}\alpha\sin\beta+\sin^{2}\alpha\sin\gamma+\right.\right.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\left.+\sin^{2}\beta\sin\alpha+\sin^{2}\beta\sin\gamma+\right.\right.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\left.+\sin^{2}\gamma\sin\alpha+\sin^{2}\gamma\sin\beta\right)\right]=0. \end{array} $

[Мастак]

Vitalius в сообщении #1254650 писал(а):

Пусть $a$, $b$, $c$, $h_{a}$, $h_{b}$, $h_{c}$, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно стороны, высоты и углы в произвольном треугольнике. Докажите, что:

$\frac{a+b+c}{h_{a}+h_{b}+h_{c}}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta+\sin\alpha\sin\gamma+\sin\beta\sin\gamma}$,

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}=\frac{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma}{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\gamma+\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma}$.

Через радиус вписанной окружности и углы треугольника выражаются все стороны и высоты треугольника.
PS Маловато олимпиадного в задаче, имхо.

___________
Задача во втором посте (сообщении) топика наверно любопытна для
применения инструментария символьных преобразований в MATLAB, Maple, и др.,
то есть на каких-то олимпиадах по программированию математических мегапакетов?

[Vitalius]

Мастак в сообщении #1256309 писал(а):

___________
Задача во втором посте (сообщении) топика наверно любопытна для
применения инструментария символьных преобразований в MATLAB, Maple, и др.,
то есть на каких-то олимпиадах по программированию математических мегапакетов?

Да, идея именно в этом - решать с помощью систем символьной математики. Иначе практически невозможно получить сие тождество. Однако оно весьма некрасиво.