Приближенное вычисление корня с помощью степенного ряда

[Eg1]

Добрый день. Необходимо вычислить приближенно $\sqrt[7] 3$ с точностью до 0,001.

Пытаюсь привести $\sqrt[7] 3$ к биномиальному ряду по принципу $\sqrt[n] A = \sqrt[n]{b^n +c} = \sqrt[n]{b^n \cdot (1 + c/b^n)} = b \cdot \sqrt[n]{1+c/b^n} = b \cdot (1 + c/b^n)^{1/n}$ , т.е. $\sqrt[7] 3 = \sqrt[7]{128 - 125} = 2 \cdot (1 - 125/128)^{1/7}$

Далее рассматриваю выражение $(1 - 125/128)^{1/7}$. Беру $x= -125/128$, получаю биномиальный ряд ${(1+x)}^{1/7}$
В общем случае ${(1+x)}^{a}$ = 1 + \sum \limits_{n=1}^\infty (a \cdot (a - 1) \cdot ... \cdot (a - n +1)) \cdot x^n/n! =$
$=1 + a \cdot x + a \cdot (a - 1) \cdot x^2 / 2! + a \cdot (a - 1) \cdot (a - 2) \cdot x^3 / 3! + ... $

При $0 < a < 1$ и $x > 0$ полученный ряд будет знакочередующимся, тогда останется доказать, что это - ряд Лейбница, и использовать оценку $|r_n (x)| \leq a_{n+1}$ для нахождения количества членов ряда, необходимых для вычисления с заданной точностью. Но у меня $x= -125/128 < 0$, поэтому все члены ряда являются отрицательными, т.е. ряд не знакочередующийся и оценка $|r_n (x)| \leq a_{n+1}$ не применима.

Пробовал раскладывать в ряд ${(1-x)}^a$, но там опять не получалось знакочередования.
Раскладывал в логарифмический ряд, осуществив преобразование $\sqrt[7] 3 = e^\ln{\sqrt[7] 3}$ = 2 \cdot e^\ln{(1-125/128)^{1/7}}, но знакочередования опять не получилось.
Пытался привести подкоренное выражение к виду $ 3 = n^7 \cdot (1 + x)$ так, чтобы $0 < x < 1$ ($x > 0$, чтобы было знакочередование, $x < 1$, т.к. интервалом сходимости биномиального ряда является промежуток (-1; 1)). Получал $0 < 3/n^7 - 1 < 1$;
откуда $3/2 < n^7 < 3; 1.06 < n < 1.17$. Брал $x = 1.1$
Тогда $x= 3/1.1^7 - 1 \approx 0,54$, но тут уже будет потеря точности и кажется, что должен быть более красивый вариант решения.

Как следует разложить подкоренное выражение, чтобы получить знакочередующийся ряд? Или есть что-нибудь, кроме признака Лейбница, что позволит оценить погрешность вычисления? Буду благодарен за высказанные идеи. Возможно, имеет значение, что ответом к заданию дано число 1,211, но $\sqrt[7] 3 \approx 1.167$, т.е. то ли в ответ, то ли в условие закралась ошибка

[ewert]

Eg1 в сообщении #1256012 писал(а):

$\sqrt[7] 3 = \sqrt[7]{128 - 125} = 2 \cdot (1 - 125/128)^{1/7}$

Это бессмысленно. Чтобы вычисления оказались эффективными, поправка должна быть мала. Какое из несложных чисел в седьмой степени даст примерно двойку? Перебирайте: $1.0,\ 1.1,\ 1.2,\ \ldots$

[Pphantom]

Eg1 в сообщении #1256012 писал(а):

Возможно, имеет значение, что ответом к заданию дано число 1,211, но $\sqrt[7] 3 \approx 1.167$, т.е. то ли в ответ, то ли в условие закралась ошибка

Вообще-то с точностью до $10^{-3}$ $\sqrt[7]{3} = 1.170$.

Почему бы не взять $\sqrt[7]{3} = e^{(\ln 3)/7}$? Или два ряда - это нельзя?

[Eg1]

ewert, спасибо, но это фактически то же, что я брал:

Eg1 в сообщении #1256012 писал(а):

Пытался привести подкоренное выражение к виду $ 3 = n^7 \cdot (1 + x)$ так, чтобы $0 < x < 1$ ($x > 0$, чтобы было знакочередование, $x < 1$, т.к. интервалом сходимости биномиального ряда является промежуток (-1; 1)). Получал $0 < 3/n^7 - 1 < 1$;
откуда $3/2 < n^7 < 3; 1.06 < n < 1.17$. Брал $x = 1.1$
Тогда $x= 3/1.1^7 - 1 \approx 0,54$, но тут уже будет потеря точности и кажется, что должен быть более красивый вариант решения.

Только описался немного: "Брал $n = 1.1$. Тогда $x= 3/1.1^7 - 1 \approx 0,54$ ...". Досчитал так, получил знакочередующийся ряд, его 4-х членов хватило для вычисления с точностью 0,001.

Pphantom
Да, извиняюсь, не то написал, действительно $\sqrt[7] 3 \approx 1.170$.
Посчитал согласно вашему предложению. $\ln 3$ посчитал с помощью разложения в ряд $\ln {\frac{1+x}{1-x}= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {2 \cdot x^{2n +1}}{2n+1}}$ при $x = 1/2$.
Получалось $\ln 3 = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {2 \cdot (1/2)^{2n +1}}{2n+1} = $
$= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {(1/4)^n}{2n +1} \approx $
$\approx 1 + \frac {1}{4} \cdot \frac {1}{3} + (\frac {1}{4})^2 \cdot \frac {1}{5} +(\frac {1}{4})^3 \cdot \frac {1}{7} \approx 1.098$,

Отбрасываем остальные члены, т.к.
$r_{4} = (\frac {1}{4})^4 \cdot \frac {1}{9} +(\frac {1}{4})^5 \cdot \frac {1}{11} + ... <$
|Знаменатели 9, 11, 13, 15, ... заменяем на 9, при этом сумма увеличится|
$< (\frac {1}{4})^4 \cdot \frac {1}{9} \cdot (1 + \frac {1}{4}+(\frac {1}{4})^2 +...)=$
$=(\frac {1}{4})^4 \cdot \frac {1}{9} \cdot \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac {1}{4})^n = $
$=\frac {1}{256} \cdot \frac {1}{9} \cdot \frac {4}{3} \approx 0.0005 < 0.001 $

Получаем, что $e^\frac {\ln 3}{7} \approx e^{0.1568}$
Вычисляя приблизительно $e^{0.1568} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {0.1568^n}{n!}$ тем же способом, что и ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {(1/4)^n}{2n +1}$, получаю ответ.
Спасибо за подсказку, нестандартный способ решения, сам бы не додумался раскладывать в 2 ряда.