Факторизация. Теория чисел

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Уважаемые помогите разобраться. Решаю задачу: Сколько существует натуральных чисел $n \leqslant 100000$, для которых число $ 2^n - n^2 $ делится на $7$?
Рассматриваю периодичность остатков от деления на $7 $ двух выражений: $2^n$ и $и n^2 $. Каждое множество разбилось на периодические последовательности. Общий период для этих двух, т.е. период появления остатков для: $ 2^n - n^2 $ нашел как: $T=$НОК$(T_1, \, T_2)$ , где: $(T_1, \, T_2)$ - периоды соответственно указанных выражений. Далее внутри периода $T $ нахожу $n$ , для которых эти выражения равноостаточны и поэтому $ 2^n - n^2 $ делится на $7$. Потом подсчитываю количество периодов в $100000$ , не забыв "недопериоды" и т.д. Здесь вроде понятно.

Возник другой вопрос. По сути, с помощью целочисленных функций: $f(n)=2^n\bmod 7; \, g(n) = n^2\bmod 7; \, s(n)= (f(n)-g(n))\bmod 7$ я представляю все множество натуральных чисел в виде периодической последовательности. У меня возник вопрос: любые ли функции позволяют получить по $\bmod m$ периодические последовательности остатков?

P.S. Пока не могу более четко сформулировать вопрос. По моему, в такой трактовке это не похоже на разбиение на классы? Натолкните на мысль. И где об этом почитать?

[Someone]

Stensen в сообщении #1254767 писал(а):

любые ли функции позволяют получить по $\bmod m$ периодические последовательности остатков?

Если класс допустимых функций никак не ограничивать, то, разумеется, нет.

Stensen в сообщении #1254767 писал(а):

в такой трактовке это не похоже на разбиение на классы?

Собственно, почему нет? Если есть отношение эквивалентности, то есть и разбиение на классы.

[Stensen]

Someone в сообщении #1254772 писал(а):

Stensen в сообщении #1254767 писал(а):

любые ли функции позволяют получить по $\bmod m$ периодические последовательности остатков?

Если класс допустимых функций никак не ограничивать, то, разумеется, нет.

Извиняюсь: допустимые функции, это какие? Можете привести пример разбиения на непериодические последовательности?

[grizzly]

Stensen в сообщении #1254775 писал(а):

Можете привести пример разбиения на непериодические последовательности?

Например, $\pi(n)$ -- $n$-я цифра в десятичной записи числа $\pi $. Вы не сможете построить какое-нибудь "разбиение на периодические последовательности" (что бы оно не значило) для этой функции.

[Someone]

Stensen в сообщении #1254775 писал(а):

допустимые функции, это какие?

А которые лично Вы пожелаете счесть таковыми.

[Stensen]

Спасибо, пока понятно.