...стоит несколько слонов

[Ktina]

На шахматной доске стоит несколько слонов.

а) Докажите, что найдётся диагональ, на которой стоит чётное число слонов.
б) Докажите, что таких диагоналей хотя бы две, причём одна из них белая, а другая чёрная.
в) Может ли оказаться, что таких диагоналей ровно две?

Примечание: диагональ, состоящая всего из одного поля, тоже считается диагональю.

[waxtep]

Непонятно; пусть, например, вся первая горизонталь (a1-h1) занята восемью слонами; нету ведь ни одной диагонали с четным числом слонов. Или ноль слонов тоже считается за четное?

[slavav]

a) и b)
Рассмотрим все диагонали одного цвета. В одном направлении их восемь, в перпендикулярном - семь. Если на каждой диагонали из восьмёрки по нечётному числу слонов то общее их количество чётно. Если на каждой диагонали из семёрки по нечётному числу слонов то общее их количество нечётно.
Если предположить, что на всех пятнадцати диагоналях по нечётному слонов, то придём к противоречию - общее число слонов должно быть и чётно и нечётно.

c)
Поставим четыре слона на клетки одного цвета в нижнем ряду и четыре в верхнем (цвет тот же). Все диагонали данного цвета кроме главной будут содержать нечётное число слонов. Тоже сделаем для другого цвета.

[Ktina]

waxtep в сообщении #1254000 писал(а):

Или ноль слонов тоже считается за четное?

Ну а как же иначе?!

-- 07.10.2017, 23:57 --

Разве нуль - не чётное число?

-- 08.10.2017, 00:01 --

slavav в сообщении #1254001 писал(а):

a) и b)
Рассмотрим все диагонали одного цвета. В одном направлении их восемь, в перпендикулярном - семь. Если на каждой диагонали из восьмёрки по нечётному числу слонов то общее их количество чётно. Если на каждой диагонали из семёрки по нечётному числу слонов то общее их количество нечётно.
Если предположить, что на всех пятнадцати диагоналях по нечётному слонов, то придём к противоречию - общее число слонов должно быть и чётно и нечётно.

c)
Поставим четыре слона на клетки одного цвета в нижнем ряду и четыре в верхнем (цвет тот же). Все диагонали данного цвета кроме главной будут содержать нечётное число слонов. Тоже сделаем для другого цвета.

Большое спасибо!

[Мастак]

А зачем такую задачу из разряда "тень бреда" на матолимпиадах
предлагать, где должна быть бодрая четкая внятно-интерпретируемая постановка (без
заскоков типа "диагональ из одной клетки", "0 условно принимать четным числом" и др.?

Слоны на белых клетках и слоны на черных - это как некасающиеся друг друга "параллельные Миры". Зачем это в задаче?

И пусть слонов 8, они все на белых клетках и они исходно стоят на 1-ой 4-е и на 8-ой 4-е. Тогда только на главной диагонали 2 "на одной диагонали". И на главную диагональ можем выставить любое количество оставшихся - то есть на главной может быть любое количество от 2 до 8, а на любой другой не более 1 слона.

Тогда ответы:
а) невозможно, так как в общем случае неверно
б) невозможно, так как в общем случае неверно
в) оказаться такое может, причем также оказаться может и любое другое

PS Зачем на олимпиадах бредовая недозадача с бредовыми ответами?