Задача с числ. последовательностью и функц. зависимостью

[Йцуке]

Здраствуйте. Помогите решить следующую задачу: дана числовая последовательность
$a_1,a_2,.....a_{35}$ о которой известно, что $a_{n+1}=f(a_n) $
Требуется найти $a_4+a_5$ если известно, что $a_{35}=0$
и $ f(x)= \left\{ \begin{array}{l} \frac{4x+16}{x-4} , если x<4 \\ \sqrt[7]{\frac{x-5}{x-3}}+ \sqrt{\frac{32x-127}{2x+1}} ,если x \geqslant 4 \end{array} \right. $

Я стал смотреть возможность нахождения $a_{34}$ Это число не может быть меньше 4, поэтому оно получается из второй части кусочной функции. Если оценить эту часть кусочной функции, то получится что оно может принимать значения из промежутка $[4;5)$ . Но вот как быть дальше? Если пытаться расписать $a_4+a_5$ то все равно все упрется в кусочную функцию..Пытаться оценивать значения функций?...
Вобщем надеюсь на вашу помощь.

[maxal]

Нетрудно видеть, что если $x<4$, то $f(x)<4$. Поэтому если $a_{35}=0$, то последовательность разбивается на 2: сначала сколько-то раз используется вторая часть формулы, а потом получается значение $a_k<4$ и для всех $n\geq k$, $a_{n+1}=\frac{4a_n + 16}{a_n - 4}$.

[Henrylee]

Йцуке писал(а):

Я стал смотреть возможность нахождения $a_{34}$ Это число не может быть меньше 4 , поэтому оно получается из второй части кусочной функции.

Неправда. Оно вполне может быть равно $-4$.

Добавлено спустя 22 минуты 56 секунд:

Какой бы ни был $a_1\geqslant 4$, $a_2<...$
Тогда $a_3<...$
Вставьте нужное, потом учтите пост maxal'а, и все решится.

[TOTAL]

Henrylee писал(а):

Какой бы ни был $a_1\geqslant 4$, $a_2<...$
Тогда $a_3<...$
Вставьте нужное, потом учтите пост maxal'а, и все решится.

Вторая формула не применяется совсем, в последовательности чередуются 0 и -4.
Ни 0, ни -4 не могут быть получены по второй формуле.
Хотя нет, 0 можно получить по второй формуле.

[Henrylee]

TOTAL писал(а):

Вторая формула не применяется совсем, в последовательности чередуются 0 и -4.
Ни 0, ни -4 не могут быть получены по второй формуле.

Ноль может.

$$ f(4)=-\frac23 $$

$$ f(5)=\sqrt{3} $$

Функция монотонно возрастает на $[4,+\infty)$

[Йцуке]

Благодарю за внимание) По поводу $a_{34}$ - согласен, я написал глупость .

Вот только не совсем понял каким образом оценивать. Как определить на каком члене вторая функция попадёт в ноль и почему это произойдёт до 4 члена последовательности ? Если $a_1\geqslant 4$ , то учитывая возрастание второй функции $a_2$ может попасть куда угодно начиная от $-\frac23$ и выше

P.S. Извиняюсь, что туго соображаю, последние 2 недели из-за работы практически не получается спать...

[Henrylee]

Йцуке писал(а):

Благодарю за внимание) По поводу $a_{34}$ - согласен, я написал глупость .

Вот только не совсем понял каким образом оценивать. Как определить на каком члене вторая функция попадёт в ноль и почему это произойдёт до 4 члена последовательности ? Если $a_1\geqslant 4$ , то учитывая возрастание второй функции $a_2$ может попасть куда угодно начиная от $-\frac23$ и выше

Элементарно. Второй кусок функции возрастает, и куда в пределе стремится?

[Йцуке]

С трудом вспоминаю пределы... наверно к 5 будет стремится при x стремящемся к бесконечности...
При $a_2$ стремящемся к 5 предел будет стремится к $\sqrt{3}$
А дальше? Получается использование первой части?

[Henrylee]

Йцуке писал(а):

С трудом вспоминаю пределы... наверно к 5 будет стремится при x стремящемся к бесконечности...

Самый важный вывод, который можно отсюда сделать, это то, что $a_2<5$, а это значит либо $a_2<4$ (и все последующие тоже), либо $a_2\in[4,5)$, то есть $a_3<\sqrt{3}<4$. Вывод: при любом раскладе все элементы последовательности, начиная с 3-его меньше 4. Дальше понятно?

[Йцуке]

Ну по поводу $a_3$ я понял. То есть получается, что начиная с этого элемента все a будут попадать в первую формулу, а поскольку необходимо чтобы последний элемент был 0, либо $a_3$, либо $a_2$, либо $a_1$ будут нулём?

И тогда ответ в любом случае получается -4 ?

[Henrylee]

Йцуке писал(а):

Ну по поводу $a_3$ я понял. То есть получается, что начиная с этого элемента все a будут попадать в первую формулу, а поскольку необходимо чтобы последний элемент был 0, либо $a_3$, либо $a_2$, либо $a_1$ будут нулём?

$a_3=0$ по-любому. Про $a_1$ и $a_2$ ничего достоверно неизвестно.
Ответ, конечно, $-4$.
PS Кстати, $a_2$ не может быть равен нулю. Подумайте почему.

[Йцуке]

Большое спасибо за помощь.
А $a_2$ не может быть нулём потому что в этом случае $a_35$ не будет нулём